Methods of Mathematical Physics(2016. I1) anctions YLMa a Phys. FDU 找出一个简单向量f,使了与(}正交,则称为完备系,x=∑xp 2.函数空间( Hilbert space):在域xab]上分段连续、平方可积的函数 q(x)[J,p(x(x)(x)dx有限]的集合所排成的空间称为 Hilbert space D正交函数系;如0Q内的(=和叫(小 ②4内的=(=均为完备基 一般带权正交函数系的定义:设q(x)2(x)…9n(x)…,在x[a,b]上有 (9n(x,(x)=J,p(x)()2(x)dx=N26m 则称((x)}是在x{ab]上的带权[p(x)>0]正交函数系。把 N:=1(对于所有的n)称为/()为正交归一函数系若 (()92(x)=Jp(x)(x)(x)dx=(x)=N称为模之平方, (A Set of orthogonal complete normalized function bases) 2)广义 Fourier展开( ( expansion):若(x)是x[ab上的正交完备系,则 x[a6]上任意分段连续(平方可积)的函数f(x)均可表示为 ∫(x)=∑c9n(x),其中cn f(xo()p(x)dx ∫(x)(x)(x 正交曲线坐标系 1.从直角坐标系到正交曲线坐标系 x=rsin8cos 球坐标系(,.,9)关系:{y= rsin esin c=rcos e 柱坐标系()关系:{y= psin pMethods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 2 找出一个简单向量 f ，使 f 与 ej 正交，则称为完备系， 1 n j j j x x e = = . 2．函数空间（Hilbert space）：在域 x a b  ,  上分段连续、平方可积的函数  ( x) [ * ( ) ( ) ( )d b a    x x x x  有限]的集合所排成的空间称为 Hilbert space. 1) 正交函数系：如① x l 0,  内的 sin n x l              和 cos , n x l              ② x l l − ,  内的 1,cos ,sin n n x x l l                     均为完备基。 一般带权正交函数系的定义：设    1 2 ( x x x ), , , , ( )   n ( ) ,在 x a b  ,  上有 ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) * 2 , b m n m n n mn a       x x x x x x N = =  d ， 则 称 n ( x) 是 在 x a b  ,  上 的 带 权 [  ( x)  0 ] 正交函数系 。 把 ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 * 2 , b n n n n n n a       x x x x x x x N = = =  d 称为模之平方，若 2 1 Nn = （对于所有的 n ）称为  j ( x) 为正交归一函数系 n ( ) n x N        (A set of orthogonal complete normalized function bases). 2) 广义 Fourier 展开(expansion)：若 n ( x) 是 x a b  ,  上的正交完备系，则 x a b  ,  上任意分段连续（平方可积）的函数 f x( ) 均可表示为 ( ) ( ) 1 , n n n f x c x   = =  其中 ( ) ( ) ( ) ( ) * * ( ) . ( ) b n a n b n n a f x x x x c x x x x      =   d d 一、 正交曲线坐标系 1．从直角坐标系到正交曲线坐标系 球坐标系 (r,,) 关系: sin cos , sin sin , cos . x r y r z r       =   =   = 柱坐标系 (,,z) 关系: cos , sin , . x y z z      =   =   =