高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 的关系为 R-Rk R+R2 当R,、R2在集合(R,R2R)0,R2)0}内取定一对值(R,R2)时，R的对应值就随之确 定。 抽象出上面三个例子的共性，给出二元函数的定义如下： 定义1设D是R的一个非空子集，称映射f:D→R为定义在D上的二元函数，通 常记为 z=f(x,y),(x,y)∈D(或z=f(P),P∈D). 其中点集D称为该函数的定义域，x、y称为自变量，z称为因变量. 数集 {2z=f(x,y),(x,y)∈D} 称为该函数的值域。 z是x,y的函数也可记为z=z(x,y),z=p(x,y)等等。 类似地可以定义三元函数4=f(x,y,z)以及三元以上的函数.一般的，把定义1中的 平面点集D换成n维空间内的点集D,则可类似地可以定义n元函数 u=f(x1,x2,…,xn).n元函数也可简记为u=f(P),这里点P(x1,x2,…,xn)∈D,当 n=1时，n元函数就是一元函数.当n≥2时，n元函数就统称为多元函数。 关于多元函数定义域，与一元函数类似，我们作如下约定：在一般地讨论用算式表达 的多元函数u=∫(x)时，就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函 数的自然定义域.例如，函数z=ln(x+y)的定义域为 {(x+y)x+y>0} (图9-2)，就是一个无界开区域.又如，函数z=arcsin(x2+y2)的定义域为 x+yx2+y2≤1} (图9-3)，这是一个有界闭区域