3.证明：级数立产收敛 证明因为点>0，n=1,23,.,所以立点是正项级数。 “▣器=出-▣北+)-(+▣)-1 由D'Alembert判别法知道立点收敛 4.证明：级数∑(-1)”sin是收敛。 证明因为s血点>0，n=1,2,3.,所以它(-1)”si点是交错级数。 装 因为sinx在0，引是单调增加的连续函数，所以 订 点>a中步→m京>血m十呼n=123 线 照i血京=照点=血0=0. 内 从而，由Leibniz判别法推出它(-1Ps血京是收敛的. 答 5.用定义证明：四rsin号=0 题 证明e>0要使不等式 女m)-0川=红ms<g 效 成立.取6=e,则e>0,6=e>0,(x,):r-0<6,y-0l<,(e,)≠ 00叭有a0<6甲罗0 线林 数学分析四试题第7页（共8页）❈ ➽ ❶ ❙ ❽ ❑ ➹ ✟ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❈ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ➽ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❶ ** ** ** ** ** ** ** ** ** 3. ②➨: ❄ê P∞ n=1 n 2n−1 ➶ñ. ②➨ Ï➃ n 2n−1 > 0, n = 1, 2, 3, · · · , ↕➧ P∞ n=1 n 2n−1 ➫✔➅❄ê. ∵ limn→∞ n+1 2n n 2n−1 = limn→∞ n + 1 2n = limn→∞ 1 2  1 + 1 n  = 1 2  1 + limn→∞ 1 n  = 1 2 < 1 ∴ ❞ D’Alembert ✞❖④⑧✗ P∞ n=1 n 2n−1 ➶ñ. 4. ②➨: ❄ê P∞ n=1 (−1)n sin 1 n2 ➶ñ. ②➨ Ï➃ sin 1 n2 > 0, n = 1, 2, 3, · · · , ↕➧ P∞ n=1 (−1)n sin 1 n2 ➫✂❺❄ê. Ï➃ sin x ✸ [0, π 2 ] ➫ü◆❖❭✛ë❨➻ê, ↕➧ 1 n2 > 1 (n + 1)2 ⇒ sin 1 n2 > sin 1 (n + 1)2 , n = 1, 2, 3, · · · , limn→∞ sin 1 n2 = sin limn→∞ 1 n2 = sin 0 = 0. ❧✌, ❞ Leibniz ✞❖④íÑ P∞ n=1 (−1)n sin 1 n2 ➫➶ñ✛. 5. ❫➼➶②➨: limx→0 y→0 x sin 1 y = 0. ②➨ ∀ > 0 ❻➛Ø✤➟ |x sin 1 y − 0| = |x sin 1 y | ≤ |x| <  ↕á. ✒ δ = , ❑ ∀ > 0, ∃δ =  > 0, ∀(x, y) : |x − 0| < δ, |y − 0| < δ, (x, y) 6= (0, 0), ❦ |x sin 1 y − 0| < , ❂ limx→0 y→0 x sin 1 y = 0. ê➷➞Û(II)➪❑ ✶ 7 ➄↔✁ 8 ➄↕