Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D Q. Dai. 2003 If(t-f(to)lscIt-tol In 2/It-tol 与连续小波变换时的情形一样,定理6的正反两种情况是不对称的。而且这是不能 改进的。但若将条件(14)稍作修改,则有如下的结果 定义对∈>0,定义集合 s(to,,)={k:k∈Z, suppli. k∩(to-E,to+e)≠ 定理7:设v有紧支集。若对某∈>0和0<a<1,有 d,k|≤ 则 f(t)-f(o)≤|t-to 证:对任何t∈(0-6,to+6),因由vk(t)≠0或vk(t0)≠0可推得k∈s(to,j,e),故有 If(t)-f(to)l=>dj, k(vi, (t)-v3i k(to) k(()-吗k(o) to,j, e) ≤C∑2-( vvi k(t)-vji k(to)l ≤C∑2-(5+o)|vy,k(k)-k(ko) j, k 由(12)式,及其后面相同的推理,即可证明∫在t处局部a- Holder连续 我们现在讨论非齐次 Holder函数类C(0<a<1),即 C°(R)={f:f∈L(R),|f(t)-f(s)≤C|t-s,wt,s∈R} 对函数类C(),用小波系{是不合适的,因为它的线性组合与多项式正交,此 多项式的次数等于小波的消失矩的个数。我们将使用表示式(2),即用标准正交基Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D.Q. Dai, 2003 10 |f(t) − f(t0)| ≤ c |t − t0| α ln 2/ |t − t0| 与连续小波变换时的情形一样，定理6的正反两种情况是不对称的。而且这是不能 改进的。但若将条件（14）稍作修改，则有如下的结果。 定义 对² > 0，定义集合 s(t0, j, ²) = {k : k ∈ Z,suppψj,k ∩ (t0 − ², t0 + ²) 6= ∅}. 定理7: 设ψ有紧支集。若对某² > 0和0 < α < 1, 有 max k∈s(t0,j,²) |dj,k| ≤ c2 −(1/2+α)j 则 |f(t) − f(t0)| ≤ |t − t0| α . 证：对任何t ∈ (t0 − ², t0 + ²), 因由ψj,k(t) 6= 0或ψj,k(t0) 6= 0 可推得k ∈ s(t0, j, ²), 故有 |f(t) − f(t0)| = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ P j,k dj,k(ψj,k(t) − ψj,k(t0)) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ P j P k∈S(t0,j,ε) dj,k(ψj,k(t) − ψj,k(t0)) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ C P j 2 −( 1 2 +α)j P k∈S(t0,j,ε) |ψj,k(t) − ψj,k(t0)| ≤ C P j,k 2 −( 1 2 +α)j |ψj,k(k) − ψj,k(k0)| 由（12）式，及其后面相同的推理，即可证明f在t0处局部α-H¨older连续。 我们现在讨论非齐次H¨older函数类C α (0 < α < 1)，即 C α (R) = {f : f ∈ L ∞(R), |f(t) − f(s)| ≤ C |t − s| α , ∀t, s ∈ R} 对函数类C α (R)，用小波系{ψj,k}是不合适的，因为它的线性组合与多项式正交，此 多项式的次数等于小波的消失矩的个数。我们将使用表示式（2），即用标准正交基