《数学分析》下所 第二十一章二重积分 海南大学数学系 解设球体由式2+y2+:≤R2表示，密度函数为P=k+少+：，则 它对切平面x=R的转动惯量为 J=k∬+y+:(x-Rt wwj0-rmoo 四、引力 求密度为P,八，2)的立体对立体外一质量为1的质点A的万有引力. 设A的坐标为5，n),V中点的坐标用仁，八，=)表示，我们用微元法来求'对 A的引力，V中质量微元m=pW对的引力在坐标轴上的投影为 a成-kaw,此-kmw,。-k兰r 其中k为引力系数，r=V-+(-+-了是到的距离。于是力F在三 个坐标轴上的投影分别为 E=k二awE=k二”awR=k二a 所以 R=Fi+E,j+FR 例？设球体'具有均匀密度P,求对球外一点A(质量为1)的引力（引力 系数为k)。 解设球体由式r产+广+：2≤R表示，球外一点A的坐标为Q,0a(R<a) 由对称性F=F=0 E=兰n柳 2-a (2+y2+-a) 作业P259:1;2:3:4:5;6.《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 5 解 设球体由式 2 2 2 2 x + y + z  R 表示，密度函数为 2 2 2  = k x + y + z ，则 它对切平面 x = R 的转动惯量为 ( )  = + + − V J k x y z x R dxdydz 2 2 2 2 = ( )    −        2 0 0 0 2 3 sin cos sin R k d d R r r dr = 6 9 11 kR . 四、引力 求密度为 (x, y,z) 的立体对立体外一质量为 1 的质点 A 的万有引力． 设 A 的坐标为 (,, )，V 中点的坐标用 (x, y,z) 表示。我们用微元法来求 V 对 A 的引力， V 中质量微元 dm = dV 对的引力在坐标轴上的投影为 dV r x dF k x   3 − = ， dV r y dF k y   3 − = ， dV r z dF k zx   3 − = ， 其中 k 为引力系数， ( ) ( ) ( ) 2 2 2 r = x − + y − + z − 是到的距离。于是力 F 在三 个坐标轴上的投影分别为  − = V x dV r x F k   3 ，  − = V y dV r y F k   3 ，  − = V z dV r z F k   3 ， 所以 F= F i F j F k x + y + z . 例 7 设球体 V 具有均匀密度  ，求对球外一点 A （质量为 1）的引力（引力 系数为 k ）。 解 设球体由式 2 2 2 2 x + y + z  R 表示，球外一点 A 的坐标为 (0,0,a （ ) R  a ） 由对称性 Fx = Fy = 0  − = V z dV r z F k   3 ( )        + + − − = V dV x y z a z a k 3 2 2 2 = R k a   3 2 3 4 − 作业 P259: 1;2;3;4;5;6