Vol.28 No.4 徐玉洁等：一类状态时滞系统的最优预见控制器设计 405。 实数s矩阵sI一AB行满秩；对于两个列数 -sI 相同的矩阵A和C,[CA)能观测的充要条件 -s21 sI-A 是对于任意实数，矩阵 列满秩 C -1 注意到 -31 01 0 0 0 B 001 0 0 0 /(s-A)-A c (s-1)I -D …+ A= 0 0 ∈ 0 I 0 A 0 0 A 0 0 00 -C I」 R时+n叶p)X(nf什+p) 0 0 S(-A)-A1 中 B= ∈Rmf什n+pXm 0 c (s-1)I -D B 因此 -D rank[sI-A B]= 41[AB的能控性 [{(s-A)-A1 0 B 由上述一系列转换可以得到： nfrank (s-1)1-D IsI-A B]= 所以rankI sI一AB行满秩等价于 1-10…0 0 「5(-A)-A 0 B 0 -1…0 0 0 0 as-DI (s-1)1-D 0 行满秩于是得到如下定理 0 0…-1 0 0 000…sd 0 0 定理2若对任何实数s,矩阵 -A1 00… 0 s一A 0 尔 「(sI-A)-A 0 B 行满秩，则 L 0 0 0… 0 C (s-1)I-D c (s-1)1-D 将上面的矩阵左乘以 [AB是完全能控的 -I 0 0 0 由于当s=1时， sI -I 0 0 I-A-A1 B] rank F=rank 0 C -D 0 0 -1 0 当s=0时， 0 0 -A1 0B1 rank F=rank 0 0 -I-D 并继续作初等变换得到： p+rank[A1 B] [sI-A B→ 当s0且s≠1时， rank F=p+rankls (sI-A-A1 BJ. 因此，我们有以下推论 0 推论若矩阵A1B吲和 「I-A-A1B1 - L c -D 一A1 0 SI-A 行满秩且当s≠0且s≠1时，矩陶s(s一A)一 0 00.0 C (s-1)I A1B吲也行满秩，则AB是完全能控的.实数 s, 矩阵[ sI -A B] 行满秩 ;对于两个列数 相同的矩阵 A 和 C , [ C A] 能观测的充要条件 是对于任意实数 s , 矩阵 sI -A C 列满秩. 注意到 A = 0 I 0 … 0 0 0 0 I … 0 0 … … … … … … 0 0 0 … I 0 A1 0 0 … A 0 0 0 0 … -C I ∈ R (nf +n +p)×(nf +n +p) , B = 0 0  0 B -D ∈ R (nf +n +p)×m . 4.1 [ A B] 的能控性 由上述一系列转换可以得到: [ sI -A B] = sI -I 0 … 0 0 0 0 0 sI -I … 0 0 0 0 … … … … … … … … 0 0 0 … -I 0 0 0 0 0 0 … sI -I 0 0 -A1 0 0 … 0 sI -A 0 B 0 0 0 … 0 C (s -1)I -D . 将上面的矩阵左乘以 -I 0 … 0 0 sI -I … 0 0 … … … … … 0 0 … -I 0 0 0 … sI -I -1 0 0 I , 并继续作初等变换得到: [ sI -A B] ※ -sI -s 2 I  I 0 -s f -1 I -s f I -A 1 0 0 … 0 sI -A 0 B 0 0 0 … 0 C (s -1)I -D ※ -sI -s 2 I  I 0 -s f -1 I -s f I s f(sI -A)-A1 0 0 B s f C (s -1)I -D ※ I 0 0 s f(sI -A)-A1 0 B s f C (s -1)I -D . 因此 rank[ sI -A B] = nf +rank s f(sI -A)-A1 0 B s f C (s -1)I -D . 所以 rank[ sI -A B] 行满秩等价于 F = s f(sI -A)-A1 0 B s f C(s -1)I (s -1)I -D 行满秩,于是得到如下定理. 定 理 2 若 对 任 何 实 数 s , 矩 阵 s f(sI -A)-A1 0 B s fC (s -1)I -D 行满秩 , 则 [ A B] 是完全能控的 . 由于当 s =1 时 , rankF =rank I -A -A1 B C -D ; 当 s =0 时 , rankF =rank -A1 0 B 0 -I -D = p +rank[ A1 B] ; 当 s ≠0 且 s ≠1 时, rankF =p +rank s f(sI -A -A1 B」. 因此 ,我们有以下推论. 推论 若矩阵[ A1 B] 和 I -A -A1 B C -D 行满秩且当 s ≠0 且 s ≠1 时, 矩阵[ s f(sI -A)- A1 B] 也行满秩 , 则[ A B] 是完全能控的. Vol.28 No.4 徐玉洁等:一类状态时滞系统的最优预见控制器设计 · 405 ·