一类状态时滞系统的最优预见控制器设计

D01:10.13374j.isml00103x2006.04.022 第28卷第4期 北京科技大学学报 Vol.28 Na 4 2006年4月 Journal of University of Science and Technology Beijing Apr.2006 一类状态时滞系统的最优预见控制器设计 徐玉洁 廖福成 北京科技大学应用科学学院数力系，北京100083 摘要研究了一类状态时滞系统的最优预见控制器设计问题.首先通过差分将所研究的时滞系 统转化为形式上不含时滞的一般系统然后根据已有的无时滞系统的预见控制理论设计出系统的 控制器，并且给出了所设计的控制器存在的充分条件，仿真实验说明了预见前馈补偿的有效性. 关键词时滞系统：差分方法：预见控制：最优控制 分类号TP273 预见控制理论研究的基本问题是：当目标值 目标信号与系统输出之间的差值定义为系统 信号未来值为已知时，如何对其加以利用以提高 的误差： 闭环系统对目标信号的跟踪性能.自从文献一 e(k)=R(k)-y(k) (3) 2提出并初步分析了预见控制问题后，己有很多 本文的目的是设计出一个带有预见补偿的最 学者进行了研究工作3-4.系统状态含有时滞的 优控制器，使得系统的输出y(k)能够跟踪目标值 情况在实际中是大量存在，但未见研究报道.本 信号R(k,即me(k)=l典(y(k)-R(k)= 文研究了含有状态时滞的离散时间系统，通过构 0 造扩大误差系统把原系统转化为形式上没有时滞 的系统再利用最优控制理论的有关结果，得到原 2扩大误差系统的导出 系统的最优输入3叨， 本文采用文献35]的方法，通过构造扩大 1 问题描述 误差系统把问题转化为求解一个形式上无时滞的 系统，再利用最优预见控制的知识求解 本文研究的系统描述如下： 系统(1)的状态方程和输出方程两边分别取 x(k+1)=Ax(k+Aix(k-f)+Bu(k) (1) 差分得到： y(k)=Cx(k)+Du(k) △x(k+I)=A△x(k)+A1△x(k-f)HBA(k) 其中，x∈R”是状态向量，y∈RP是输出向量，u △y(k)=CAx(k)+D△u(k) ∈Rm是控制输入向量，A,A1,B,C,D是具有相 (4) 应维数的常数矩阵，∫表示系统状态在状态通道 对系统(4)，引入二次型作为性能指标函数： 中的时滞.在上面的第二个方程中，输入通过系 数矩阵直接作用于系统的输出.假定C为行满 J=县e'kg-+a'k))s) 秩矩阵，即ankC=p(<n). 其中，Q为pXp正定矩阵，H为mXm正定矩 设目标信号为R(k),且R(k)有NL步可预 阵. 见，即设在每个时刻k,R(k十1)，R(k十2)， 同样地，式(3)两边也取差分得到： ,R(k十NL)为已知.采用预见控制中常用的 作法，从M步之后认为它是常数到，即： △e(k)=△R(k)-△y(k) (6) 注意到△e(k)=e(k+1)-e(k),利用式(4)的第 R(k+j)=R(k+NL),j=NL+1,NL+2,... 二式即得： (2) e(k+I)=e(k)-C△x(k)-D△u(k)+△R(k) 收稿日期：2004-12-28修回日期.200503-15 (7) 基金项目：国家自然科学基金资助项目(N0.60374032) 为了消除状态时滞，引入向量： 作者简介：徐玉洁(1981一)，女，硕士研究生：廖福成(1957一)， 男，教授

一类状态时滞系统的最优预见控制器设计 徐玉洁 廖福成 北京科技大学应用科学学院数力系, 北京 100083 摘 要 研究了一类状态时滞系统的最优预见控制器设计问题.首先通过差分将所研究的时滞系 统转化为形式上不含时滞的一般系统, 然后根据已有的无时滞系统的预见控制理论设计出系统的 控制器, 并且给出了所设计的控制器存在的充分条件 .仿真实验说明了预见前馈补偿的有效性. 关键词 时滞系统;差分方法;预见控制;最优控制 分类号 TP273 收稿日期:2004 12 28 修回日期:2005 03 15 基金项目:国家自然科学基金资助项目(No .60374032) 作者简介:徐玉洁(1981—), 女, 硕士研究生;廖福成(1957—), 男, 教授 预见控制理论研究的基本问题是:当目标值 信号未来值为已知时 , 如何对其加以利用以提高 闭环系统对目标信号的跟踪性能.自从文献[ 1- 2] 提出并初步分析了预见控制问题后 , 已有很多 学者进行了研究工作[ 3 14] .系统状态含有时滞的 情况在实际中是大量存在 , 但未见研究报道.本 文研究了含有状态时滞的离散时间系统 ,通过构 造扩大误差系统把原系统转化为形式上没有时滞 的系统,再利用最优控制理论的有关结果,得到原 系统的最优输入 [ 3 9] . 1 问题描述 本文研究的系统描述如下 : x(k +1)=Ax(k)+A1 x(k -f)+Bu(k) y(k)=Cx(k)+Du(k) (1) 其中 , x ∈ R n 是状态向量 , y ∈ R p 是输出向量 , u ∈R m 是控制输入向量, A , A1 , B , C , D 是具有相 应维数的常数矩阵, f 表示系统状态在状态通道 中的时滞.在上面的第二个方程中 , 输入通过系 数矩阵直接作用于系统的输出.假定 C 为行满 秩矩阵,即 rank C =p(<n). 设目标信号为 R(k), 且 R(k)有 N L 步可预 见, 即设在每个时刻 k , R (k +1), R (k +2), …, R(k +N L)为已知.采用预见控制中常用的 作法 , 从 NL 步之后认为它是常数 [ 3] , 即 : R(k +j)=R(k +N L), j =N L +1 , N L +2 , … (2) 目标信号与系统输出之间的差值定义为系统 的误差: e(k)=R(k)-y(k) (3) 本文的目的是设计出一个带有预见补偿的最 优控制器 ,使得系统的输出 y(k)能够跟踪目标值 信号 R(k),即limk ※∞ e(k)=limk ※∞(y(k)-R(k))= 0 . 2 扩大误差系统的导出 本文采用文献[ 3-5] 的方法, 通过构造扩大 误差系统把问题转化为求解一个形式上无时滞的 系统 ,再利用最优预见控制的知识求解 . 系统(1)的状态方程和输出方程两边分别取 差分得到 : Δx(k +1)=AΔx(k)+A1Δx(k -f)+BΔu(k) Δy(k)=CΔx(k)+DΔu(k) (4) 对系统(4),引入二次型作为性能指标函数: J = ∑ ∞ k =0 [ e T(k)Qe(k)+Δu T(k)HΔu(k)] (5) 其中, Q 为 p ×p 正定矩阵, H 为 m ×m 正定矩 阵. 同样地,式(3)两边也取差分得到: Δe(k)=ΔR(k)-Δy(k) (6) 注意到 Δe(k)=e(k +1)-e(k),利用式(4)的第 二式即得 : e(k +1)=e(k)-CΔx(k)-DΔu(k)+ΔR(k) (7) 为了消除状态时滞, 引入向量 : 第 28 卷 第 4 期 2006 年 4 月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol .28 No.4 Apr.2006 DOI :10.13374/j .issn1001 -053x.2006.04.022

。404 北京科技大学学报 2006年第4期 △x(k-f) △x(k-f什1) X(k)= (8) △x(k-1) Q △r(k) 问题现在变为：设计使性能指标函数(13)取 这里，Xo(k)∈Ra什D.综合式(4)和式(8)得 最小值的系统(12)的最优控制器，再给出系统(1) Xo(k+1)=AoXo(k)+BoAu(k)(9) 的带有预见前馈补偿的最优控制器. 其中， 3控制器的设计 0 0 0 0 0 0 由文献[3】关于预见控制的结论可知，若 A0= ∈Rf升nX(nftn) [AB能控且[Q2能观测，系统(12)的 0 00 I 带有预见前馈补偿的最优控制输入为： 00 N △u(k)=FX(k)+ FR(G)△R(k+j). 0 0 其中 B0= ∈Rmf升nXm F=-[H十BPB-BPA 0 FR (j)=-H+B PB]B'(A:)PW. L B A=A十BF 由式(7)可以得到： j=0,1,NL (14) e(k+1)=CoXo(k)+e(k)-Du(k)+AR(k) P为方程 (10) P-A'PA-A'PB(H+B'PB)B'PA+Q 其中，C0=[00…0-C. 的唯一对称正定解. 再综合式(9)和(10)得到： 注意到△u(k)=u(k十1)-u(k)以及(12) Xo(k+1】_「A00「X(k1 e(k+e(k) 中X(k)的具体含义，可以得到下面的定理. 定理1若[AB能控[Q2A能观 [+[, (11) 则系统(1)的最优控制输入为： 记 u(k)=u(k-1)十2 F.iax-I-i汁 a- Ee(k-1)+ 之F*pAR(k-I+i. -[w-[9 其中，F=[FF,F=[Fxf)Fx(f-1) …F(1】,这里F,FR)如(14)式所示. 则(11)可化为： 对矩阵F作上述分解是为了更好地看出“ X(k+1)=AX(k)+B△(k)+W△R(k)(12) (k)的结构.定理1中的最优控制输入中最后一 系统(12)形式上已经没有时滞称为扩大误 差系统 项二F)△R(k一1+j)即就是预见前馈补偿 利用系统(12)的状态向量，性能指标函数 项 (5)可改写为： 4 控制器存在的条件 J= IX()OXO(k)+△ik)HAuk] 定理1成立的条件是[AB例能控[Q2 (13) A能观测.本节给出[A能控和[Q2 其中， !能观测的条件，利用PBH判别法进行讨论. PBH判别法1：对于两个行数相同的矩阵 A和B,[AB能控的充要条件是对于任意的

X0(k)= Δx(k -f) Δx(k -f +1)  Δx(k -1) Δx(k) (8) 这里 , X0(k)∈R n(f +1).综合式(4)和式(8)得: X0(k +1)=A0 X0(k)+B0Δu(k) (9) 其中 , A0 = 0 I 0 … 0 0 0 I … 0 … … … … … 0 0 0 … I A1 0 0 … A ∈ R (nf +n)×(nf +n) , B0 = 0 0  0 B ∈R (nf +n)×m . 由式(7)可以得到: e(k +1)=C0X0(k)+e(k)-Du(k)+ΔR(k) (10) 其中 , C0 =[ 0 0 … 0 -C] . 再综合式(9)和(10)得到 : X0(k +1) e(k +1) = A0 0 C0 I X0(k) e(k) + B0 -D Δu(k)+ 0 I ΔR(k) (11) 记 X(k)= X0(k) e(k) , A = A0 0 C0 I , B = B0 -D , W = 0 I . 则(11)可化为: X(k +1)=AX(k)+BΔu(k)+W ΔR(k) (12) 系统(12)形式上已经没有时滞, 称为扩大误 差系统. 利用系统(12)的状态向量 , 性能指标函数 (5)可改写为: J = ∑ ∞ k =0 [ X T(k)QX(k)+Δu T(k)HΔu(k)] (13) 其中 , Q = 0 0 Q . 问题现在变为 :设计使性能指标函数(13)取 最小值的系统(12)的最优控制器, 再给出系统(1) 的带有预见前馈补偿的最优控制器 . 3 控制器的设计 由文献[ 3] 关于预见控制的结论可知, 若 [ A B] 能控且[ Q 1/ 2 A] 能观测, 系统(12)的 带有预见前馈补偿的最优控制输入为: Δu(k)=FX(k)+ ∑ N L j =0 FR(j)ΔR(k +j). 其中 F =-[ H +B T P B] -1 B T P A FR(j)=-[ H +B T PB] -1 B T(A T c) j PW Ac =A +BF , j =0 , 1 , …, NL (14) P 为方程 P =A T P A -A T P B(H +B T P B) -1 B T P A +Q 的唯一对称正定解. 注意到 Δu(k)=u(k +1)-u(k)以及(12) 中 X(k)的具体含义, 可以得到下面的定理. 定理 1 若[ A B] 能控且[ Q 1/2 A] 能观, 则系统(1)的最优控制输入为 : u(k)=u(k -1)+ ∑ f i =0 Fx(i)Δx(k -1 -i)+ Fee(k -1)+ ∑ N L j =0 FR(j)ΔR(k -1 +j). 其中 ,F =[ F ＊ x Fe] , F ＊ x =[ Fx(f ) Fx(f -1) … Fx(1)] , 这里 F , FR(j)如(14)式所示 . 对矩阵 F 作上述分解是为了更好地看出 u (k)的结构.定理 1 中的最优控制输入中最后一 项 ∑ N L j =0 FR(j)ΔR(k -1 +j)即就是预见前馈补偿 项. 4 控制器存在的条件 定理 1 成立的条件是[ A B] 能控且[ Q 1/ 2 A] 能观测 .本节给出[ A B] 能控和[ Q 1/ 2 A] 能观测的条件 ,利用 PBH 判别法进行讨论. PBH 判别法[ 15] :对于两个行数相同的矩阵 A 和B , [ A B] 能控的充要条件是对于任意的 · 404 · 北 京 科 技 大 学 学 报 2006 年第 4 期

Vol.28 No.4 徐玉洁等：一类状态时滞系统的最优预见控制器设计 405。 实数s矩阵sI一AB行满秩；对于两个列数 -sI 相同的矩阵A和C,[CA)能观测的充要条件 -s21 sI-A 是对于任意实数，矩阵 列满秩 C -1 注意到 -31 01 0 0 0 B 001 0 0 0 /(s-A)-A c (s-1)I -D …+ A= 0 0 ∈ 0 I 0 A 0 0 A 0 0 00 -C I」 R时+n叶p)X(nf什+p) 0 0 S(-A)-A1 中 B= ∈Rmf什n+pXm 0 c (s-1)I -D B 因此 -D rank[sI-A B]= 41[AB的能控性 [{(s-A)-A1 0 B 由上述一系列转换可以得到： nfrank (s-1)1-D IsI-A B]= 所以rankI sI一AB行满秩等价于 1-10…0 0 「5(-A)-A 0 B 0 -1…0 0 0 0 as-DI (s-1)1-D 0 行满秩于是得到如下定理 0 0…-1 0 0 000…sd 0 0 定理2若对任何实数s,矩阵 -A1 00… 0 s一A 0 尔 「(sI-A)-A 0 B 行满秩，则 L 0 0 0… 0 C (s-1)I-D c (s-1)1-D 将上面的矩阵左乘以 [AB是完全能控的 -I 0 0 0 由于当s=1时， sI -I 0 0 I-A-A1 B] rank F=rank 0 C -D 0 0 -1 0 当s=0时， 0 0 -A1 0B1 rank F=rank 0 0 -I-D 并继续作初等变换得到： p+rank[A1 B] [sI-A B→ 当s0且s≠1时， rank F=p+rankls (sI-A-A1 BJ. 因此，我们有以下推论 0 推论若矩阵A1B吲和 「I-A-A1B1 - L c -D 一A1 0 SI-A 行满秩且当s≠0且s≠1时，矩陶s(s一A)一 0 00.0 C (s-1)I A1B吲也行满秩，则AB是完全能控的

实数 s, 矩阵[ sI -A B] 行满秩 ;对于两个列数 相同的矩阵 A 和 C , [ C A] 能观测的充要条件 是对于任意实数 s , 矩阵 sI -A C 列满秩. 注意到 A = 0 I 0 … 0 0 0 0 I … 0 0 … … … … … … 0 0 0 … I 0 A1 0 0 … A 0 0 0 0 … -C I ∈ R (nf +n +p)×(nf +n +p) , B = 0 0  0 B -D ∈ R (nf +n +p)×m . 4.1 [ A B] 的能控性 由上述一系列转换可以得到: [ sI -A B] = sI -I 0 … 0 0 0 0 0 sI -I … 0 0 0 0 … … … … … … … … 0 0 0 … -I 0 0 0 0 0 0 … sI -I 0 0 -A1 0 0 … 0 sI -A 0 B 0 0 0 … 0 C (s -1)I -D . 将上面的矩阵左乘以 -I 0 … 0 0 sI -I … 0 0 … … … … … 0 0 … -I 0 0 0 … sI -I -1 0 0 I , 并继续作初等变换得到: [ sI -A B] ※ -sI -s 2 I  I 0 -s f -1 I -s f I -A 1 0 0 … 0 sI -A 0 B 0 0 0 … 0 C (s -1)I -D ※ -sI -s 2 I  I 0 -s f -1 I -s f I s f(sI -A)-A1 0 0 B s f C (s -1)I -D ※ I 0 0 s f(sI -A)-A1 0 B s f C (s -1)I -D . 因此 rank[ sI -A B] = nf +rank s f(sI -A)-A1 0 B s f C (s -1)I -D . 所以 rank[ sI -A B] 行满秩等价于 F = s f(sI -A)-A1 0 B s f C(s -1)I (s -1)I -D 行满秩,于是得到如下定理. 定 理 2 若 对 任 何 实 数 s , 矩 阵 s f(sI -A)-A1 0 B s fC (s -1)I -D 行满秩 , 则 [ A B] 是完全能控的 . 由于当 s =1 时 , rankF =rank I -A -A1 B C -D ; 当 s =0 时 , rankF =rank -A1 0 B 0 -I -D = p +rank[ A1 B] ; 当 s ≠0 且 s ≠1 时, rankF =p +rank s f(sI -A -A1 B」. 因此 ,我们有以下推论. 推论 若矩阵[ A1 B] 和 I -A -A1 B C -D 行满秩且当 s ≠0 且 s ≠1 时, 矩阵[ s f(sI -A)- A1 B] 也行满秩 , 则[ A B] 是完全能控的. Vol.28 No.4 徐玉洁等:一类状态时滞系统的最优预见控制器设计 · 405 ·

。406 北京科技大学学报 2006年第4期 42LA2 A的能观测性 0 0 0 0 注意到 日 0 sI -I 0 0 0 0 0 -I 0 0 (-A)-A1 00…0 0 .· c 0 0 0 (s-1)I 0 0 0 -I 0 0 sI-A 0 0 0 0 -A1 0 0 sI-A 0 0 0 0 C (s-1)I 0 0 01 0 0 0 0 由于Q是正定矩阵，继续作初等变换可以得到 0 0 0 0 0 0 0 将上面的矩阵左乘以 -I 0 0 0 0 0 sI -1 0 0 -4 {(-A)-A1 000 0 fc 00 …0 0 0 0 … -I 0 0 0 0 0 0 0 sI 0 00 Q 得到 一l I 0 0 0 0 0 -21 0 1…0 0 0 -I s(sI-A)-A 0 0 0 A1 sc 0 0 0 0 sI-A 0 0 0 0 C (s-1)1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 因此 继续作初等变换得到 SI-A s (sI-A)-A rank nf什p十ank SI-A c 所以 I-A 列满秩等价于矩阵T= -sl 10 0 0 L -21 01 0 0 S(s1-A)-A1 列满秩于是得到下列定理. sc - 00 0 定理3 若对任何实数s,矩阵 (d-A)-A1 0 0 一A 0 s(sI-A)-A 列满秩则[Q2A能观 0 0 C (s-1)I sc 0 0 0 0 0 测 由于当s=1时，rankT=ank 0 0 0 0 0 [4:当=0时：m7=md当：

4.2 A 1/2 A」的能观测性 注意到 sI -A Q 1/ 2 = sI -I 0 … 0 0 0 sI -I … 0 0      0 0 0 … -I 0 -A1 0 0 … sI -A 0 0 0 0 … C (s -1)I 0 0 0 … 0 0  … … … …  0 0 0 … 0 Q . 将上面的矩阵左乘以 -I 0 … 0 0 sI -I … 0 0 … … … … … 0 0 … -I 0 0 0 … sI -I -1 I I , 得到 sI -A Q 1/2 ※ -sI I 0 … 0 0 -s 2 I 0 I … 0 0      -s f I 0 0 … I 0 -A1 0 0 … sI -A 0 0 0 0 … C (s -1)I 0 0 0 … 0 0  … … … …  0 0 0 … 0 Q . 继续作初等变换得到 sI -A Q 1/2 ※ -sI I 0 … 0 0 -s 2 I 0 I … 0 0      -s f I 0 0 … I 0 s f(sI -A)-A1 0 0 … sI -A 0 s f C 0 0 … C (s -1)I 0 0 0 … 0 0  … … … …  0 0 0 … 0 Q ※ 0 0 0 I 0  0 0 0 s f(sI -A)-A1 0 0 … 0 0 s f C 0 0 … 0 (s -1)I 0 0 0 … 0 0  … … … …  0 0 0 … 0 Q . 由于 Q 是正定矩阵, 继续作初等变换可以得到 sI -A Q 1/2 ※ 0 0 0 I 0   0 0 s f(sI -A)-A1 0 0 … 0 0 s f C 0 0 … 0 0 0 0 0 … 0 0  … … … …  0 0 0 … 0 Q ※ I 0 0 0 s f(sI -A)-A1 0 s fC 0 0 0 0  Q 1/2 . 因此 rank sI -A Q 1/2 =nf +p +rank s f(sI -A)-A1 s fC . 所以 sI -A Q 1/2 列 满 秩 等 价 于 矩 阵 T = s f(sI -A)-A1 s fC 列满秩,于是得到下列定理. 定 理 3 若 对 任 何 实 数 s , 矩 阵 s f(sI -A)-A1 s fC 列满秩, 则[ Q 1/ 2 A] 能观 测. 由 于 当 s = 1 时, rankT = rank I -A -A1 C ;当 s =0 时 , rankT =rankA1 ;当 s · 406 · 北 京 科 技 大 学 学 报 2006 年第 4 期

Vol.28 No.4 徐玉洁等：一类状态时滞系统的最优预见控制器设计 ·407。 √(sI-A)-AI 应，虚线代表目标信号).比较以上两图可以发 ≠0且s≠1时，rankT:=rank sc 现当采用预见控制时，超调量减小了，而且可 因此有以下推论 以更快地达到稳定状态 12 推论 若A1可逆 I-A-Ai 列满秩 1.0 且当s≠0，s≠1时，矩阵 s(sI-A)-A1 0.8 列满 s√c 0.6 秩 则Q2A能观测. 0.4 02 5 数值仿真 考虑具有状态时滞的控制系统 -0.26102030405060708090100 0.90.8 「0.100.13] x(k+1)= x(k) L0.70.8 L0.110.07 图2不采用预见控制时的输出响应 「1.0 x(k-2)+ u(k) Fig.2 Output response without preview control L02 y(k)=[0.30.4x(k)+1.3u(k) 6结论 其中状态时滞常数为2，取初始值x(0)=[1.2 12T,定义当<2时，x(k-2)=[0gT,目 本文在无时滞系统相关理论的基础上，结合 标信号值 预见控制的思想研究了一类状态时滞系统，设计 1, k≥50 出了此类系统的最优控制器并且给出了控制器存 R(k)= 0. ≤49 在的充分条件. 预见的步数假定为10步， 参考文献 将这个系统与系统(1)相对应。不难得到其 1]Sheridan T B.Three models of preview oon trol.IEEE Trans 中 Human Fact Electron 1966.HFE-7(2):91 0.90.8 「0.10013 [2 Tomizuka M.Optimal continuous finite preview problem. A- L0.70.8 L0.11007 IEEE Trans Autom Control 1975.20(3):326 【3土谷武土，江上正。著.最新自动控制技术一数字预见控 B 1.0 02C=[030.9,D=13, 制.廖福成译.北京：北京科学技术出版社.1994 [4 Katayama T.Ohki T.Inoue T,et al.Design of an optimal f=2,经过计算可以得到这些矩阵满足定理2及 controller for adiscrete-time ystem subject to previewabe de- 定理3的条件 mand Int J Control 1985.41(3):677 用M atlab进行数值仿真，可以得到输出响应 [5 Katayama T.HironoT.Design of an optimal servomechanisn 如图1和图2所示（其中实线代表实际的输出响 with preview action and its dual problem.Int J Contrd. 12 1987,45(2):407 [6 Fujisaki Y.Narasaki T.Optimal preview control based on 1.0 quadratic peromance//Proc of 36th IEEE Conf on Decision 0.8 and ContmL Tokyo,1997:3830 0.6 [了廖福成江上正，土谷武士.利用目标值信号二阶差分进 行最优预见伺服系统设计.应用基础与工程科学学报。 0.4 1997,5(3):223 0.2 [8 Liao F Takaba K,Katayama T.et al.Design of an optimal 0 preview servomechanism for discrete-time systems in a multi- -0.20102030405060708090100 rate setting.Dyn Continuous Discrete Impulsive Syst Ser B 200310:727 [9 Liao F.TakeshiT.Tadashi E et al.Unified approach to op 图1采用预见控制时的输出响应 timal preview servo systems and optimal preview FF comper Fig.I Output response with preview control sated systems.Chin J Auom 1998 10(4):423 10]Choi C.Kim JS,Lee G,et al.Design of an H obased pre-

≠0 且 s ≠1 时 , rankT =rank s f(sI -A)-A1 s fC . 因此有以下推论 . 推论 若 A1 可逆, I -A -A1 C 列满秩, 且当 s ≠0 , s ≠1 时, 矩阵 s f(sI -A)-A1 s fC 列满 秩, 则 Q 1/ 2 A」能观测 . 5 数值仿真 考虑具有状态时滞的控制系统 x(k +1)= 0.9 0.8 0.7 0.8 x(k)+ 0.10 0.13 0.11 0.07 · x(k -2)+ 1.0 0.2 u(k) y(k)=[ 0.3 0.4] x(k)+1.3u(k) 其中状态时滞常数为 2 , 取初始值 x(0)=[ 1.2 1.2] T , 定义当 k <2 时 , x(k -2)=[ 0 0] T , 目 标信号值 R(k)= 1 , k ≥50 0 , k ≤49 预见的步数假定为 10 步 . 将这个系统与系统(1)相对应, 不难得到其 中 A = 0.9 0.8 0.7 0.8 , A1 = 0.10 0.13 0.11 0.07 , B = 1.0 0.2 , C =[ 0.3 0.4] , D =1.3 , f =2 ,经过计算可以得到这些矩阵满足定理 2 及 定理 3 的条件. 图 1 采用预见控制时的输出响应 Fig.1 Output response with preview control 用 M atlab 进行数值仿真 ,可以得到输出响应 如图 1 和图 2 所示(其中实线代表实际的输出响 应, 虚线代表目标信号).比较以上两图可以发 现, 当采用预见控制时, 超调量减小了, 而且可 以更快地达到稳定状态. 图 2 不采用预见控制时的输出响应 Fig.2 Output response without preview control 6 结论 本文在无时滞系统相关理论的基础上 , 结合 预见控制的思想研究了一类状态时滞系统 , 设计 出了此类系统的最优控制器并且给出了控制器存 在的充分条件 . 参 考 文 献 [ 1] S heridan T B .Three models of preview con trol.IEEE Trans Human Fact Electron, 1966 , HFE-7(2):91 [ 2] Tomizuka M .Optimal continuous finite preview problem . IEEE Trans Autom Control, 1975 , 20(3):326 [ 3] 土谷武士, 江上正, 著.最新自动控制技术—数字预见控 制.廖福成, 译.北京:北京科学技术出版社, 1994 [ 4] Katayama T , Ohki T , Inoue T , et al.Design of an optimal controller for a discrete-time syst em subject to previewable de￾mand.Int J Control, 1985 , 41(3):677 [ 5] Katayama T , Hirono T .Design of an optimal servomechanism w ith preview action and its dual problem .Int J Control , 1987 , 45(2):407 [ 6] Fujisaki Y, Narasaki T .Optimal preview control based on quadratic perf ormance ∥Proc of 36th IEEE Conf on Decision and Control.Tokyo , 1997:3830 [ 7] 廖福成, 江上正, 土谷武士.利用目标值信号二阶差分进 行最优预见伺服系统设计.应用基础与工程科学学报, 1997 , 5(3):223 [ 8] Liao F, Takaba K , Kat ayama T , et al.Design of an optimal preview servomechanism for discret e-time systems in a multi￾rate setting .Dyn Continuous Discrete Impulsive Syst Ser B, 2003 , 10:727 [ 9] Liao F , Takeshi T , Tadashi E , et al.Unified approach to op￾timal preview servo syst ems and optimal preview FF compen￾sated systems.Chin J Autom, 1998 , 10(4):423 [ 10] Choi C , Kim J S , Lee G , et al.Design of an H ∞-based pre￾Vol.28 No.4 徐玉洁等:一类状态时滞系统的最优预见控制器设计 · 407 ·

。408· 北京科技大学学报 2006年第4期 view controller//Proc of European Control Conference.Brus 13]Cohen A.Shaked U.Linear diserete time Horoptimal track- ss1997 ing with preview.IFEE Trans Autom Control 1997.42 [1刂 Shaked U.de SouzaC E.Continuous-time tracking problems (2):270 in Hoetting:agame theory appmach.IEFE Trans.Autom 14]de Sowa C E.Shaked U.Fu M.et al.Robust Hootrack- Control,199540(5):845 ing:a game theory appmach.Int J Robust Nonlinear Con [12 Cohen A.Shaked U.Robust discrete time Hosoptimal tl1995,5:223 tracking with preview.Int J Robust Nonlinear Control. 【1匀郑大钟.线性系统理论.2版北京：清华大学出版社， 1995.8(1):29 2002. Design of the optimum preview controller for a class of state-delay systems XU Yujie,LIAO Fucheng Appled Science School University of Science and Technology Beijing.Beijng 10008 China ABSTRACT This paper studied the design of the optimum preview controller used for a class of state-delay sy stems.Difference method was first introduced to translate the time-delay system into a common system without time-delay,and then the theory of preview control for a system without time-delay was used to de- sign the controller.The sufficient conditions for the designed controller were proposed.The efficiency of this feedfo rw ard compensation method was testified through an emulational exam ple. KEY WORDS state-delay system;difference;preview control;optimal control

view controller ∥Proc of European Control Conf erence .Brus￾sels, 1997 [ 11] S haked U , de S ouza C E .Continuous-time tracking problems in H ∞setting :a game theory approach.IEEE Trans.Autom Control , 1995 , 40(5):845 [ 12] Cohen A , S haked U .Robust discret e-time H ∞-optimal tracking w ith preview .Int J Robust Nonlinear Control , 1995 , 8(1):29 [ 13] Cohen A, Shaked U .Linear discret e-time H ∞-optimal track￾ing w ith preview .IEEE Trans Autom Control, 1997 , 42 (2):270 [ 14] de Souza C E , S haked U , Fu M , et al.Robust H ∞ track￾ing :a game theory approach.Int J Robust Nonlinear Con￾trol, 1995 , 5:223 [ 15] 郑大钟.线性系统理论.2 版.北京:清华大学出版社, 2002. Design of the optimum preview controller for a class of state-delay systems X U Yujie , LIAO Fucheng Applied S cience School, University of Science and T echnology Beijing , Beijing 10008 , China ABSTRACT This paper studied the design of the optimum preview controller used for a class of state-delay sy stems.Difference method was first introduced to translate the time-delay sy stem into a common sy stem w ithout time-delay , and then the theory of preview control fo r a system without time-delay w as used to de￾sign the controller.The sufficient conditions for the desig ned controller were proposed .The efficiency of this feedfo rw ard compensation method was testified throug h an emulational example . KEY WORDS state-delay system ;difference;preview control ;optimal control · 408 · 北 京 科 技 大 学 学 报 2006 年第 4 期