。406 北京科技大学学报 2006年第4期 42LA2 A的能观测性 0 0 0 0 注意到 日 0 sI -I 0 0 0 0 0 -I 0 0 (-A)-A1 00…0 0 .· c 0 0 0 (s-1)I 0 0 0 -I 0 0 sI-A 0 0 0 0 -A1 0 0 sI-A 0 0 0 0 C (s-1)I 0 0 01 0 0 0 0 由于Q是正定矩阵，继续作初等变换可以得到 0 0 0 0 0 0 0 将上面的矩阵左乘以 -I 0 0 0 0 0 sI -1 0 0 -4 {(-A)-A1 000 0 fc 00 …0 0 0 0 … -I 0 0 0 0 0 0 0 sI 0 00 Q 得到 一l I 0 0 0 0 0 -21 0 1…0 0 0 -I s(sI-A)-A 0 0 0 A1 sc 0 0 0 0 sI-A 0 0 0 0 C (s-1)1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 因此 继续作初等变换得到 SI-A s (sI-A)-A rank nf什p十ank SI-A c 所以 I-A 列满秩等价于矩阵T= -sl 10 0 0 L -21 01 0 0 S(s1-A)-A1 列满秩于是得到下列定理. sc - 00 0 定理3 若对任何实数s,矩阵 (d-A)-A1 0 0 一A 0 s(sI-A)-A 列满秩则[Q2A能观 0 0 C (s-1)I sc 0 0 0 0 0 测 由于当s=1时，rankT=ank 0 0 0 0 0 [4:当=0时：m7=md当：4.2 A 1/2 A」的能观测性 注意到 sI -A Q 1/ 2 = sI -I 0 … 0 0 0 sI -I … 0 0      0 0 0 … -I 0 -A1 0 0 … sI -A 0 0 0 0 … C (s -1)I 0 0 0 … 0 0  … … … …  0 0 0 … 0 Q . 将上面的矩阵左乘以 -I 0 … 0 0 sI -I … 0 0 … … … … … 0 0 … -I 0 0 0 … sI -I -1 I I , 得到 sI -A Q 1/2 ※ -sI I 0 … 0 0 -s 2 I 0 I … 0 0      -s f I 0 0 … I 0 -A1 0 0 … sI -A 0 0 0 0 … C (s -1)I 0 0 0 … 0 0  … … … …  0 0 0 … 0 Q . 继续作初等变换得到 sI -A Q 1/2 ※ -sI I 0 … 0 0 -s 2 I 0 I … 0 0      -s f I 0 0 … I 0 s f(sI -A)-A1 0 0 … sI -A 0 s f C 0 0 … C (s -1)I 0 0 0 … 0 0  … … … …  0 0 0 … 0 Q ※ 0 0 0 I 0  0 0 0 s f(sI -A)-A1 0 0 … 0 0 s f C 0 0 … 0 (s -1)I 0 0 0 … 0 0  … … … …  0 0 0 … 0 Q . 由于 Q 是正定矩阵, 继续作初等变换可以得到 sI -A Q 1/2 ※ 0 0 0 I 0   0 0 s f(sI -A)-A1 0 0 … 0 0 s f C 0 0 … 0 0 0 0 0 … 0 0  … … … …  0 0 0 … 0 Q ※ I 0 0 0 s f(sI -A)-A1 0 s fC 0 0 0 0  Q 1/2 . 因此 rank sI -A Q 1/2 =nf +p +rank s f(sI -A)-A1 s fC . 所以 sI -A Q 1/2 列 满 秩 等 价 于 矩 阵 T = s f(sI -A)-A1 s fC 列满秩,于是得到下列定理. 定 理 3 若 对 任 何 实 数 s , 矩 阵 s f(sI -A)-A1 s fC 列满秩, 则[ Q 1/ 2 A] 能观 测. 由 于 当 s = 1 时, rankT = rank I -A -A1 C ;当 s =0 时 , rankT =rankA1 ;当 s · 406 · 北 京 科 技 大 学 学 报 2006 年第 4 期