证明:E(G)=E(sx=Ex: ∑e=∑2x,e=a 故的最大似然估计a=x是的无偏估计 1l.设x1,x2,x1为总体x~Na2)的样本,证明 都是总体均值u的无偏估计,并进一步判断哪一个估计有效 证明E()=Ex1+2x2+X3 E(x1)+E(x2)+E(x3) 6 +|(x)=E(x)= E(2)=E2x1+x2+2X =2E(X1)+E(X2)+E(X3) 2+1+2)(x)=E(x)= 所以,2都是总体均值的无偏估计 又D()=D1x+x2+ 1m(x)+(x2)+2D(x2) 、5+9+/(x)= =D(x) D(2)=D2x1+x2+2X D(X1)+D(x2)+D(x3) D( X)=-a 可见DGa2)<D(G1),所以二个估计量中2更有效证明： ( )   ( ) = =  =      = n i i n i i E X n X n E E 1 1 1 1 ˆ      =  =  = − = + − = + −   x e dx n x e dx n x n i x n i 1 0 1 2 1 2 1 2 1 1 故  的最大似然估计  = = n i Xi n 1 1  ˆ 是  的无偏估计。 11. 设 1 2 3 X , X , X 为总体 ( ) 2 X ~  , 的样本，证明 2 1 2 3 1 1 2 3 5 2 5 1 5 2 ˆ 2 1 3 1 6 1 ˆ X X X X X X = + + = + +   都是总体均值  的无偏估计，并进一步判断哪一个估计有效。 证明 ( )       1 = 1 + 2 + 3 2 1 3 1 6 1 E ˆ E X X X ( ) ( ) ( )  ( ) = ( ) =       = + + = + + E X E X E X E X E X 2 1 3 1 6 1 2 1 3 1 6 1 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )    = =      = + + = + +       = + + E X E X E X E X E X E E X X X 5 2 5 1 5 2 5 2 5 1 5 2 5 2 5 1 5 2 ˆ 1 2 3 2 1 2 3 所以 1 2  ˆ ,  ˆ 都是总体均值  的无偏估计。 又 ( )       = + + 6 3 2 ˆ 1 2 3 1 X X X D  D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 3 18 7 18 7 4 1 9 1 36 1 4 1 9 1 36 1  = =       = + + = + + D X D X D X D X D X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 3 2 1 2 3 25 9 25 9 25 4 25 1 25 4 5 2 5 1 5 2 ˆ   = = = + +       = + + D X D X D X D X D D X X X 可见 ( ) ( ) 2 1 D  ˆ  D  ˆ ，所以二个估计量中 2  ˆ 更有效