赋范线性空间与Banach空间 定义 设p:X→R是线性空间X上的半范数，如果p(a)=0当且仅当 x=0,则称p为X上的范数， 注 任给线性空间总可以赋予范数使之称为赋范线性空间， 定义 称赋有范数‖·‖的线性空间X为赋范线性空间， 一般记赋范线性空间为(X,川·).有时候为了方便起见，直接把 (X,川)简记为X.如果(X,‖·)是赋范线性空间，x∈X,则称川为 x的范数 泛函分析 October 11,2021 11/53赋范线性空间与 Banach 空间 定义 设 p : X → R 是线性空间 X 上的半范数, 如果 p(x) = 0 当且仅当 x = 0, 则称 p 为 X 上的范数. 注 任给线性空间总可以赋予范数使之称为赋范线性空间. 定义 称赋有范数 || · || 的线性空间 X 为赋范线性空间. 一般记赋范线性空间为 (X, || · ||). 有时候为了方便起见, 直接把 (X, || · ||) 简记为 X. 如果 (X, || · ||) 是赋范线性空间, x ∈ X, 则称 ||x|| 为 x 的范数. 泛函分析 October 11, 2021 11 / 53