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第1期 减鸿雁等：基于离散混沌系统广义同步定理的数字图像加密方案 .99 成一个具有混沌特性的只含0,1的序列 3数字图像加密算法 1 y2(k)g 灰度图像：一幅灰度图像对应一个mXn数字 91(k)三 0y2(k)≤g 矩阵，其中m和n分别代表图像中像素的行数和列 91(k)在加密过程中起到一个转换开关的作用，由 数，矩阵中数据取[0,255]之间的整数值，代表该像 91(k)生成一个与明文同维数矩阵为G 素的灰度值 (5)发送方A利用生成的序列t1,t2,G对原 假设发送方A和接收方B共同持有系统(11) 始图像的像素值按如下方式进行修改， 和变换(12).A与B共享该算法中密钥集keys= 当G中相应元素值为1时， {a,b,x1(1),x2(1),x3(1)}中的全部密钥.假设发 C(i,j)=mod(round(M(i,j)ti(i,j)x 送方A欲将一幅灰度图像M发送给接收者B,安全 (abs(i-j)+(k2×j),256): 通讯方案如下所述： (1)发送方A利用系统(11)及参数a=1.08, 当G中相应元素值为0时， b=0.3,x1(1)=1,x2(1)=1,x3(1)=1,生成离 C(i,j)=mod(round(M(i,j)+t2(i,j)x 散混沌序列x1(k),x2(k),x3(k)|k=1,2,…, (abs(i-j)+(k3×i)),256) mX nl (6)接收方B用混沌系统的参数a,b初始值 (2)发送方A利用可逆变换H,即式(12)，生 x1(1),x2(1),x3(1)及变换H,得到序列y1,y2,y3, 成序列1y1(k),y2(k),y3(k)k=1,2,…,m×n. B按步骤(4)和(5)逆向求解出明文M, (③)发送方A使用序列y1(k),y3(k)产生加密 4仿真实验 序列，为扩大加密序列中的值在密文中的作用以及 数据范围的需要，对混沌序列所作处理如下： 密钥集keys={a,b,x1(1),x2(1),x3(1)}中取 t1=mod(round(y1Xk1),256); 值分别为a=1.08,b=0.3,x1(1)=1,x2(1)=1, t2=mod(round(y3X1),256). x3(1)=1.算法中参数k1=256,2=1000,k3= (4)发送方A选取g=0对y2(k)进行处理，形 1000.解密图像能完全无损地恢复出原图像（图5） (b) 图5(a)原图像：(b)加密图像：(c)正确密钥解密像 Fig.5 (a)Original image:(b)encrypted image;(c)decrypted image by correct key 5 安全性分析 直方图，横坐标代表灰度图像的256个灰度级，纵坐 标代表图像所有像素取每个灰度级的频数，从统计 5.1统计直方图 值方图看，加密图像的直方图中各像素值的概率分 图6(a),(b)分别为原图像及加密图像的统计 布接近等概率分布，因此具有良好的密码学性能， 300 60 5.2密文熵分析 (a) 香农提出了信息熵的概念，用以表征信源的不 号200 40 定度，对概率分布为(P1,P2,,P)的离散集，其信 100 20 息熵定义为一之p山p:·当信源概率分布为等概 4=1 100 200 灰度值 灰度值 率分布时，信息熵能取到最大值为b,这就是最大 图6(a)原图统计直方图：(b)加密图统计直方图 熵原理，类似地，可以用密文的信息熵来度量密文 Fig-6 (a)Histogram of the original image;(b)histogram of the 的平均不确定性的程度，当密文的概率分布为等概 encrypted image 率分布时，即取[0,255]之间每一个值概率均为1/3 数字图像加密算法 灰度图像：一幅灰度图像对应一个 m× n 数字 矩阵其中 m 和 n 分别代表图像中像素的行数和列 数矩阵中数据取［0255］之间的整数值代表该像 素的灰度值． 假设发送方 A 和接收方 B 共同持有系统（11） 和变换（12）．A 与 B 共享该算法中密钥集 keys＝ ｛abx1（1）x2（1）x3（1）｝中的全部密钥．假设发 送方 A 欲将一幅灰度图像 M 发送给接收者 B安全 通讯方案如下所述： （1） 发送方 A 利用系统（11）及参数 a＝1∙08 b＝0∙3x1（1）＝1x2（1）＝1x3（1）＝1生成离 散混沌序列｛x1（ k）x2（ k）x3（ k）｜k ＝12… m× n｝． （2） 发送方 A 利用可逆变换 H即式（12）生 成序列｛y1（ k）y2（ k）y3（ k）｜k＝12…m× n｝． （3） 发送方 A 使用序列 y1（ k）y3（ k）产生加密 序列．为扩大加密序列中的值在密文中的作用以及 数据范围的需要对混沌序列所作处理如下： t1＝mod（round（ y1×k1）256）； t2＝mod（round（ y3×k1）256）． （4） 发送方 A 选取 g＝0对 y2（ k）进行处理形 成一个具有混沌特性的只含01的序列 g1（ k）＝ 1 y2（ k）＞g 0 y2（ k）≤g g1（ k）在加密过程中起到一个转换开关的作用．由 g1（ k）生成一个与明文同维数矩阵为 G． （5） 发送方 A 利用生成的序列 t1t2G 对原 始图像的像素值按如下方式进行修改． 当 G 中相应元素值为1时 C（ ij）＝mod（round（ M（ ij）＋t1（ ij）× （abs（ i－ j）＋（ k2× j）））256）； 当 G 中相应元素值为0时 C（ ij）＝mod（round（ M（ ij）＋t2（ ij）× （abs（ i－ j）＋（ k3× i）））256）． （6） 接收方 B 用混沌系统的参数 ab 初始值 x1（1）x2（1）x3（1）及变换 H得到序列 y1y2y3 B 按步骤（4）和（5）逆向求解出明文 M． 4 仿真实验 密钥集 keys＝｛abx1（1）x2（1）x3（1）｝中取 值分别为 a＝1∙08b＝0∙3x1（1）＝1x2（1）＝1 x3（1）＝1．算法中参数 k1＝256k2＝1000k3＝ 1000．解密图像能完全无损地恢复出原图像（图5）． 图5 （a） 原图像；（b） 加密图像；（c） 正确密钥解密像 Fig．5 （a） Original image；（b） encrypted image；（c） decrypted image by correct key 图6 （a） 原图统计直方图；（b） 加密图统计直方图 Fig．6 （a） Histogram of the original image；（b） histogram of the encrypted image 5 安全性分析 5∙1 统计直方图 图6（a）（b）分别为原图像及加密图像的统计 直方图横坐标代表灰度图像的256个灰度级纵坐 标代表图像所有像素取每个灰度级的频数．从统计 值方图看加密图像的直方图中各像素值的概率分 布接近等概率分布因此具有良好的密码学性能． 5∙2 密文熵分析 香农提出了信息熵的概念用以表征信源的不 定度对概率分布为（P1P2…Pn）的离散集其信 息熵定义为－ ∑ n i＝1 pilb pi．当信源概率分布为等概 率分布时信息熵能取到最大值为 lb n这就是最大 熵原理．类似地可以用密文的信息熵来度量密文 的平均不确定性的程度．当密文的概率分布为等概 率分布时即取［0255］之间每一个值概率均为1／ 第1期 臧鸿雁等： 基于离散混沌系统广义同步定理的数字图像加密方案 ·99·