Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D Q. Dai, 2003 h*∑f(mn)(t-nn) ∑∫(mm)hr(t-mT) Nyquist取样率,混叠效应( aliasing):设supp∫fc[B,B。取样步长T与B的关系 为T=丌/B.称之为 Nyquist取样率。 若T>晋,则f(u-等)的支集与B,B对某些k≠0非空。因而(△)式右端的ouer变 换 hn=Xx-m的(-数 在B,B]上,不同于f(u).这导致混叠效应 例:设f(t)=cos(uot)=(e0+e-a)/2,/T<o<2x/T由于f(u)=r{6(-o)+ 6(u+∞o),故有B=。这时 ()1x(1)=mx-m1()[6(a-0-2)+6(a+4-2) =丌[6(a-+∞)+6(+0) 所以 fa* hr(t) 混叠效应,将高频∽o转移到了低频-0∈[-x/T,π/T」 注:在应用中,低频噪音是不容易消除的. 下面我们给出一个逼近结果。给定函数∫,用 Fourier变换支于丌/T,丌/们]的函数f逼 近f,f=?由 Plancherel公式,我们有 /f()-f(u)d 击几心mr|(u)d+|()-d 当第二项为0时,此距离最小,因此 (w)=f()xI-x/T /m=mhr(u)f(w) 即f=1/Tf*h 关于取样定理有各种的推广,例如 )对∫的不同限制, 2)取样的网络(在多维的情形有更多的选择),Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D.Q. Dai,2003 11 f(t) = hT ∗ fd = hT ∗ P n f(nT)δ(t − nT) = P n f(nT)hT (t − nT). Nyquist 取样率，混叠效应（aliasing）: 设supp ˆf ⊂ [−B, B]。取样步长T与B的关系 为T = π/B. 称之为Nyquist 取样率。 若T > π B，则 ˆf(ω− 2kπ T )的支集与[−B, B]对某些k 6= 0非空。因而（∆）式右端的Fourier变 换 hˆ T ˆfd = χ[−π/T,π/T] X +∞ k=−∞ ˆf(ω − 2hπ T ) 在[-B ,B]上，不同于 ˆf(ω). 这导致混叠效应。 例：设f(t) = cos(ω0t) = (e iω0t + e −iω0t )/2, π/T < ω0 < 2π/T. 由于 ˆf(ω) = π[δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)]，故有B = ω0。这时 ˆfd (ω) hˆ T (ω) = πχ[−π/T,π/T] (ω) + P∞ k=−∞ £ δ ¡ ω − ω0 − 2kπ T ¢ + δ ¡ ω + ω0 − 2kπ T ¢¤ = π £ δ ¡ ω − 2π T + ω0 ¢ + δ ¡ ω + 2π T − ω0 ¢¤ 所以 fd ∗ hT (t) = cos ·µ2π T − ω0 ¶ t ¸ . 混叠效应，将高频ω0转移到了低频2π T − ω0 ∈ [−π/T, π/T]. 注：在应用中，低频噪音是不容易消除的. 下面我们给出一个逼近结果。给定函数f，用Fourier变换支于[−π/T, π/T]的函数 ˜f逼 近f， ˜f =? 由Plancherel公式，我们有 ° ° °f − ˜f ° ° ° 2 = 1 2π R +∞ −∞ ¯ ¯ ¯ ˆf (ω) − ˆ˜f (ω) ¯ ¯ ¯ 2 dω = 1 2π R |ω|>π/T ¯ ¯ ¯ ˆf(ω) ¯ ¯ ¯ 2 dω + 1 2π R |ω|<π/T ¯ ¯ ¯ ˆf (ω) − ˆ˜f ¯ ¯ ¯ 2 dω 当第二项为0时，此距离最小，因此 ˆ˜f(ω) = ˆf(ω)χ[−π/T,π/T] = 1 T hˆ T (ω) ˆf(ω). 即 ˜f = 1/T f ∗ hT . 关于取样定理有各种的推广，例如： 1）对f的不同限制， 2）取样的网络（在多维的情形有更多的选择）