Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D Q. Dai, 2003 引理:fa()=∑kf(u-等) 证:在分布的意义下,有 (f(nt)8(t-nr),(t)=f(nT)p(nT) (f(t(t-nT),(t))=f(nt)y(nt) 故f(nt)6(t-nn)=f(t)(t-mT).因而fa()可改写为 fa(t)=f(t)>o(t-nr)=f()c(t) 由 Fourier变换的乘积性质 由P 式,有 2 2丌k T 再由f*6(u-5)=f(u-5),引理得证 注:从一函数构g(t)造出它的周期化,一种方法是 2丌k 定理9( Shanon(1949), Whittaker(1935)):设f的支集含于[-π/T,丌/].则 ∑∫(mm)hr(t-n) 其中 It/T 证:因hx=Tx-/,/m,由前一引理得 2k 由f的支集性质,上式右端等于f(u).取逆 Fourier变换得Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D.Q. Dai,2003 10 引理： ∧ fd (ω) = 1 T P k ∧ f ¡ ω − 2kπ T ¢ 。 证: 在分布的意义下，有 hf (nt) δ (t − nT), ϕ (t)i = f (nT) ϕ (nT) 和 hf (t) δ (t − nT), ϕ (t)i = f (nt) ϕ (nt) 故f (nt) δ (t − nT) = f(t)δ(t − nT). 因而fd (t)可改写为 fd (t) = f(t) X n δ(t − nT) = f(t)c(t) 由Fourier变换的乘积性质 ∧ fd (ω) = 1 2π ∧ f ∗ ∧ c 由Poisson公式，有 ∧ c(ω) = 2π T X k δ µ ω − 2πk T ¶ 再由 ∧ f ∗δ (ω − ξ) = ∧ f (ω − ξ)，引理得证. 注：从一函数构g(t)造出它的周期化，一种方法是 gc(t) = X k g µ t − 2πk T ¶ . 定理9（Shanon(1949)，Whittaker(1935)）: 设 ˆf的支集含于[−π/T, π/T]. 则 f(t) = X n f(nT)hT (t − nT) 其中 hT (t) = sin πt/T πt/T . 证：因hˆ T = T χ[−π/T,π/T] ，由前一引理得 hˆ T · ˆfd = 1 T hˆ T · X k ˆf(ω − 2kπ T ) (∆) 由 ˆf的支集性质，上式右端等于 ˆf(ω). 取逆Fourier变换得