Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D Q. Dai, 2003 9 其 Fourier变换为 c()=∑ 定理8( Poisson求和公式):在分布意义下,有 证:因c(ω)以2π/T为周期,为证上式,只需证c限制到[-π/T,π/门]时等于2/T6.为此,只 需证对任意检验函数(u),它的支集含于,到,有 <ao>= lim -intw o(0) N 积分内级数的和为 (N+1/2)Td n(Tw/2) 因此 <a,o>= lim 2T M sin((N +1/2)Tw Tw/2 sin(lw 记v(u) ()a2,|x1,而如(1)为u(u)的逆 Fourier变换,因2-lsin(au) 0, 其它。 是x(-a4(t)的 Fourier,变换,由 Parseval等式有 <>=m算广0u) 1+(Od lim 罕+x()d=(0)=等(0) 注: Poisson求和公式给出 Fourier系数与取样值之间的关系。 关于f的一致取样值f(nT),可表为DaC函数f(nT)6(t-nn)。因而 fa()=∑f(nt)6(t-n) 由于6(t-nT)=c-m,所以有 fa()=∑f( nte n 我们还有Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D.Q. Dai,2003 9 其Fourier变换为 cˆ(ω) = X n e −inT ω 定理8（Poisson求和公式）：在分布意义下，有 X n∈Z e −inT ω = 2π T X n∈Z δ(ω − 2kπ T ). 证：因cˆ(ω)以2π/T为周期，为证上式，只需证cˆ限制到[-π/T，π/T]时等于2π/T δ. 为此，只 需证对任意检验函数φˆ(ω)，它的支集含于[- π T ，π T ]，有 < c, ˆ φ >ˆ = lim N−>∞ Z +∞ −∞ X N n=−N e −inT ωφˆ(ω)dω = 2π T φˆ(0). 积分内级数的和为 X N n=−N e −inT ω = sin[(N + 1/2)T ω] sin(T ω/2). 因此 < c, ˆ φ >ˆ = lim N−>∞ 2π T Z π/T −π/T sin[(N + 1/2)T ω πω T ω/2 sin(T ω/2)φˆ(ω)dω 记ψˆ(ω) = ( ϕˆ(ω) T ω/2 sin(T ω/2) , kωk < π/T, 0, 其它。 而ψ(t) 为 ˆ ψ(ω) 的逆Fourier变换，因2ω −1 sin(aω) 是χ[−a,a](t) 的Fourier变换，由Parseval等式有 < c, ˆ ϕ >ˆ = lim N→∞ 2π T R +∞ −∞ sin[(N+ 1 2 )T ω] πω ψˆ(ω)dω = lim N→∞ 2π T R (N+ 1 2 )T −(N+ 1 2 )T ψ(t)dt = 2π T R +∞ −∞ ψ(t)dt = 2π T ψˆ(0) = 2π T φˆ(0). 注：Poisson求和公式给出Fourier系数与取样值之间的关系。 关于f的一致取样值f (nT)，可表为Dirac函数f (nT) δ (t − nT)。因而 fd (t) = X n f (nt) δ (t − nT) 由于δ (\t − nT) = e −inT ω，所以有 ˆfd(ω) = X n f(nt)e inT ω . 我们还有