Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D Q. Dai, 2003 u* he(t)= 证:由he()=sin(5)(t),得 h() sinE(t-r) sin S(t- (t-x) 变量替换后,即得证。 函数S(t)=∫d的图像如图. 最大 Gibbs振荡发生在t=士π/,其幅度不依赖于。 sin t A=S(丌)-1= dt-1≈0.045 最后,我们有 f()-fe(t)=JS((t-to)+(5,t) 其中∈(,t)→0当|→∞,在to的某邻域内 我们以例子解释分辨率的概念和滤波器h支集大小间的关系。假定h是紧支集的, 即suph=[a,b(-∞<a<b<∞)。我们以测量数据这一过程为例来说明。设∫为真实数 据,而g是通过某过程测量过程而得到的观测值。很明显,g在时刻t=T的数值应该忠实地 反映f在t=T时的真实数据。由h的支集的性质,9(T)依赖于f(t)在区间t∈团T-b,T-]的 数值。因而对于观测过程,区间长度b-a愈小,g(T)愈真实的反映∫。故观测过程的分辨率 与h的支集的大小有关。高分辨率系统对应于小支集的滤波器,反之亦然。 4取样定理 考虑Drac分布6(t).形式上有: )=/6(t)e-ldt=1 因而,对b0(t)=6(-to),有 o(∞) 对 Dirac梳子, a(t-nT) n=-Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D.Q. Dai,2003 8 u ∗ hξ(t) = Z tξ −∞ sin x πx dx 证：由hξ(t) = sin(ξt)/(πt), 得 u ∗ hξ(t) = Z +∞ −∞ u(t) sin ξ(t − x) π(t − x) dx = Z +∞ 0 sin ξ(t − x) π(t − x) dx 变量替换后，即得证。 函数S(ξt) = ξt R −∞ sin x πx dx的图像如图. 最大Gibbs振荡发生在t=±π/ξ，其幅度不依赖于ξ。 A = S(π) − 1 = Zπ −∞ sin t πt dt − 1 ≈ 0.045. 最后，我们有 f(t) − fξ(t) = JS(ξ(t − t0)) + ²(ξ, t) 其中²(ξ, t) → 0当|ξ| → ∞，在t0的某邻域内。 我们以例子解释分辨率的概念和滤波器h支集大小间的关系。假定h是紧支集的， 即supph = [a, b](−∞ < a < b < ∞)。我们以测量数据这一过程为例来说明。设f为真实数 据，而g是通过某过程测量过程而得到的观测值。很明显，g在时刻t = T的数值应该忠实地 反映f在t = T时的真实数据。由h的支集的性质，g(T)依赖于f(t)在区间t ∈ [T − b, T − a]的 数值。因而对于观测过程，区间长度b − a愈小，g(T)愈真实的反映f。故观测过程的分辨率 与h的支集的大小有关。高分辨率系统对应于小支集的滤波器，反之亦然。 4 取样定理 考虑Dirac分布δ(t). 形式上有： ˆδ(ω) = Z δ(t)e −itωdt = 1 因而，对δt0 (t) = δ(t − t0)，有 δbt0 (ω) = e −it0ω . 对Dirac 梳子， c(t) = X +∞ n=−∞ δ(t − nT)