9.设d(x)是首项系数为1的多项式,且d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x),问d(x)是否一 定是f(x)与g(x)的一个最大公因式,为什么? 解:由d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x) 因为(f(x),g(x)f(x),(f(x),g(x))lg(x) 所以(f(x),g(x))整除上述等式右端 故(f(x),g(x))ld(x), 即d(x)是(f(x),g(x))的倍式, 这说明d(x)未必一定是f(x),g(x)的一个最大公因式, 只有d(x)与(f(x),g(x))是同次多项式时才是。 10.设p(x)是F上次数≥1的多项式,证明:如果对于F上的任意多项式f(x),g(x),由 p(x)f(x)g(x)可推出p(x)f(x)或者p(x)|g(x),那么p(x)是F上的不可约多项 证:反证法。 设p(x)是F上的可约多项式,则p(x)可分解成两个次数均比它低的多项式之积,即 p(r)=p,(x)p(x), degp, <degp, degp degp 当然p(x)hp1(x),p(x)2(x),p(x)|p(x) 即p(x)lp(x)p(x)。 由已知条件可推出p(x)lp(x)或p(x)|p2(x),矛盾。 11.将x4+x3+x2+x+1在复数域上分解为不可约多项式之积 解:在复数范围内 x5-1=0有5个5次单位根,它们是1,o,2,o3,o5, 其中a=c3+ism3称为本原5次单位根, 而x3-1=(x-1)(x4+x3+x2+x+1), 所以x4+x3+x2+x+1=(x-a)(x-a2)(x-a3)(x-d5)。 12.证明:次数大于0的首项系数为1的多项式f(x)是一不可约多项的方幂的充要条件 是:对任意多项式g(x)必有(f(x),g(x)=1,或者对于某一正整数m,f(x)|g(x) 证:先证必要性。 设f(x)=p(x),其中p(x)是不可约多项式,则对任意多项式g(x)有 (p(x),g(x))=1或者p(x)lg(x)。 在前一种情况,p(x)与g(x)无非零常数之外的公因式 故p(x)与g(x)也无非零常数之外的公因式。 7