所以(f(x),g(x))=1, 在后一种情况g(x)=p(x)h(x) g(r)=p(x). h(x)=f(r).h'(r) 故f(x)g(x),取m=k即可 再证充分性。 反证法:设f(x)不是不可约多项式的方幂,则f(x)至少有两个互素的非常数不可 约因式,设它们为p(x),p2(x), 令g(x)=p1(x),则p2(x)/g(x)=p1(x), 则(f(x),g(x))=p1(x)≠1, 由已知条件,因为f(x),g(x)不互素,故存在一正整数m, 使f(x)lgn(x),即f(x)lp"(x), 但对任一正整数m,由于p2(x)g(x),故f(x)g"(x),矛盾。 13.判断下列多项式有无重因式。 (1)f(x)=x4+4x2-4x-3 解:f(x)=4x3+8x-4=4(x32x-1) 由辗转相除法(f(x),f(x)=1 所以f(x)=x4+4x2-4x-3无重因式。 (2)f(x)=x5-5x4+7x3-2x2+4x-8 解:f(x)=5x4-20x3+21x2-4x+4 由辗转相除法: 5x2-20x3+21x2-4x+4x5-5x4+7x3-2x2+4x-8 45x4-3x3-10x2+30xx5-4x4x3-x2 2+323x+4-+1号2-3+138 x+4x2+1x-45-x+4x2-212+4x n(x)=42-49x+49n(x)=-.2+32+3x-5-12(2x+3) =(x2-4x+4) (2x3-5x2-4x+12)=9(x) n(x)(-%45(2x+3)