运城学院应用数学系2022年1月抽象代数试题及答案(B) 一、填空题（每空3分，共30分） l、规定整数集Z上的运算×为a×b=a+b-ab(等号右边的运算是普通乘法和加法)， 则对于结合率和交换率而言，这个运算满足结合律、交换率。 2、整数集Z关于运算×：a×b=a+b-1(等号右边的运算是普通乘法和加法)是群，则 Z中的单位元是1。 3、己知群G中的元素a的阶等于6，则a4的阶等于3。 4、7阶循环群有6_个生成元。 5、N是群G的正规子群，商群G人中的运算为(aN)bN)=abN,则G人的单位元 为N ta:G→G 6、群G的内自同构映射x。为 x→axa 7、5元对称群S5有60个偶置换。 8、6阶群中必有1、2、3阶元。 9、环Zs中的可逆元为1,3,5,7 10、在Z5中多项式f0)=x-了的根工，4为。 二、简答题（每小题10分，共40分) 1、设G是交换群，H是G中所有有限阶元素组成的集合，证明H是G的子群。 证明：对任意的a,b∈H,设a,b的阶分别为m,n,则(ab)mn=amnbmn=-e,所以ab 的阶小于mn,所以ab∈H。又al的阶也为m,所以al∈H。故H是G的子群。l0 分 2、若a是群G中唯一的2阶元素，证明a是中心元。 证明：对任意的x∈G,有xar=la=2,由2阶元的唯一性得xaxl=a,即xa=ax, 所以a是中心元。...10分运城学院应用数学系 2022 年 1 月抽象代数试题及答案（B） 一、填空题（每空 3 分，共 30 分） 1、规定整数集 Z 上的运算×为 a×b=a+b-ab(等号右边的运算是普通乘法和加法)， 则对于结合率和交换率而言，这个运算满足 结合律、交换率 。 2、整数集 Z 关于运算×：a×b=a+b-1(等号右边的运算是普通乘法和加法)是群，则 Z 中的单位元是 1 。 3、已知群 G 中的元素 a 的阶等于 6，则 a 4 的阶等于 3 。 4、7 阶循环群有 6 个生成元。 5、N 是群 G 的正规子群，商群 G N 中的运算为(aN)(bN)= abN，则 G N 的单位元 为 N 6、群 G 的内自同构映射 a  为 1 a G G x axa  − → → ： 。 7、5 元对称群 S5 有 60 个偶置换。 8、6 阶群中必有 1、2、3 阶元。 9、环 Z8 中的可逆元为 1，357 ，， 。 10、在 Z5 中多项式 2 f x x ( ) 1 = − 的根 1, 4 为。 二、简答题（每小题 10 分，共 40 分） 1、设 G 是交换群，H 是 G 中所有有限阶元素组成的集合，证明 H 是 G 的子群。 证明：对任意的 a, b∈H，设 a, b 的阶分别为 m, n，则(ab)mn=amnb mn=e，所以 ab 的阶小于 mn，所以 ab∈H。又 a -1 的阶也为 m，所以 a -1∈H。故 H 是 G 的子群。......10 分 2、若 a 是群 G 中唯一的 2 阶元素，证明 a 是中心元。 证明：对任意的 x∈G，有 1 xax a 2 − = = ，由 2 阶元的唯一性得 xax-1=a，即 xa=ax， 所以 a 是中心元。……10 分 3、设两个 6 次置换 1 2 3 4 5 6 2 1 4 3 6 5    =     ， 1 2 3 4 5 6 2 4 5 6 1 3    =     ，求 1  −