.5分 4、设G是群，H≤G,若G=aHUa,HU…是群G关于H的左陪集分解，且有 aH=Hai,i=l,2,.,证明H是G的正规子群。 证明：对任意的x∈G=aHUa,HU…,必有唯一的i使得x∈a,H=Ha,所以 xH=a,H,H=Ha,所以xH=Hx,所以H是G的正规子群。10分 三、证明题（每小题10分，共10分) 证明数集Z[V-5]={a+b√一5引a,beZ;关于数的加法与乘法构成一个有单位元 的交换环，其中√5表示√5i,i是虚数单位，即-1。 证明：1)任给a=a+bV-5,B=c+d√-5∈Z-5],a,b,c,d∈Z,则 a+B=(a+c)+(b+d)-5∈Z[-5] aB=(ac-5bd)+(ad+bc)5EZ[5] 所以，数的加法与乘法是Z√-5]的代数运算。2分 2)因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以 Z[√一巧]的加法与乘法也满足这些运算律。2分 3)因为0=0+0√-5∈Z√-5]，且对任意的a=a+b√-5∈Z[√-5]，有0+a= a+0=a,所以0为Z[-5]的零元。2分 4)对任意的a=a+b-5∈ZI-5],有-a=-a-b-5=(←-a)+(b)√-巧∈ Z[V-5],且a+(-)=0,所以，a=a+b√-5∈Z[V-5]的负元为(-a)+(b)√5∈ Z-5]。2分 5)因为1=1+0√-5∈Z[√-5]，且对任意的a=a+b√-5∈Z[√-5]，有1a=al =a,所以数1为Z√-5]的单位元。2分解： 1 1 2 3 4 5 6 5 1 6 2 3 4  −   =     ，......5 分 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 2 1 4 3 6 5 5 1 6 2 3 4 6 2 5 1 4 3 −      = =          。......5 分 4、设 G 是群， H G ，若 G a H a H = 1 2 是群 G 关于 H 的左陪集分解，且有 aiH=Hai，i=1, 2, …，证明 H 是 G 的正规子群。 证明：对任意的 1 2 x G a H a H  = ，必有唯一的 i 使得 i i x a H Ha  = ，所以 i xH a H = ， Hx Ha = i ，所以 xH=Hx，所以 H 是 G 的正规子群。......10 分 三、证明题（每小题 10 分，共 10 分） 证明数集 Z[ −5 ] = {a + b −5 | a, b∈Z}关于数的加法与乘法构成一个有单位元 的交换环，其中 −5 表示 5 i，i 是虚数单位，即 i 2=-1。 证明：1) 任给 α = a + b −5 , β = c + d −5 ∈Z[ −5 ]，a, b, c, d ∈Z，则 α + β = (a + c) + (b + d) −5 ∈Z[ −5 ] αβ = (ac - 5bd) + (ad + bc) −5 ∈Z[ −5 ] 所以，数的加法与乘法是 Z[ −5 ]的代数运算。......2 分 2) 因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以 Z[ −5 ]的加法与乘法也满足这些运算律。......2 分 3) 因为 0 = 0 + 0 −5 ∈Z[ −5 ]，且对任意的 α = a + b −5 ∈Z[ −5 ]，有 0 + α = α + 0 = α，所以 0 为 Z[ −5 ]的零元。......2 分 4) 对任意的 α = a + b −5 ∈Z[ −5 ]，有-α = -a – b −5 = (-a) + (-b) −5 ∈ Z[ −5 ]，且 α + (-α) = 0，所以，α = a + b −5 ∈Z[ −5 ]的负元为(-a) + (-b) −5 ∈ Z[ −5 ]。......2 分 5) 因为 1 = 1 + 0 −5 ∈Z[ −5 ]，且对任意的 α = a + b −5 ∈Z[ −5 ]，有 1α = α1 = α，所以数 1 为 Z[ −5 ]的单位元。......2 分