+(-1) (2m) (4)f(x)=arctan x 2n+1 (-1) ∈[-1,1 (5)f(x)=ln(+x)=∑ (6)f(x)=(1+x)2,a≠0是任意实数。 当a是正整数m时, (x)=(+x)y=1+mx+mm=1)x2+…+mx"+x,x∈(-∞,+∞) 即它的幂级数展开就是二项式展开,只有有限项 当α不为0和正整数时, 11),当a≤-1, (1+x)2= x∈(-1,1l当-1<a<0, x∈ 其中 (α-1)…(a-n+1) (n=1,2…)和 0 设函数f(x)在x0的某个邻域Oxp)中任意阶可导,要求它在Oxo,r)中的幂级数 展开,一开始就考虑利用公式(*)往往不是明智之举。下面我们通过具体实例 介绍幂级数展开的一些方便而实用的方法: 1.通过各种运算与变换,将函数化成已知幂级数展开的函数的和 例1求f(x) 在x=0的幂级数展开 3+5x-2 解利用部分分式得到 2(1 f(x)= x7(1+2 再利用(6)式(a=-1),得到 f(x) 例2求f(x)=sin3x在x=2的幂级数展开。 A f(x)=sinx==sin x--sin 3x +(x一 coS 3(x 33 8sn(x-2)+=cos(x-)-cos3(x-2),)!2( )1( !4!2 1 42 2 n xx x n n LL −+−+−= + …, x∈(-∞, + ∞)。 (4) f (x) = arctan x = ∑ ∞ = − − − − 1 12 1 12 )1( n n n x n 12 )1( 53 53 12 + −+−+−= + n xx x x n LL n + …, x∈[-1, 1]。 (5) f (x) = ln (1 + x) = ∑ ∞ = + − 1 1 )1( n n n x n n xxx x x n n 1 432 )1( 432 − LL −++−+−= + …, x∈(-1, 1]。 (6) fx x () ( ) = +1 α ，α≠0 是任意实数。 当α 是正整数 m 时， f (x) = (1 + x) m = 1 + mx + 2 2 )1( x mm − + … + + x m−1 mx m，x∈(-∞, +∞) 即它的幂级数展开就是二项式展开，只有有限项。 当α不为 0 和正整数时， ∑ ∞ = α ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛α =+ 0 )1( n n x n x , ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > <<− −≤ −∈ −∈ −∈ .0 ,01 ,1 ],1,1[ ],1,1( ),1,1( α α α 当 当 当 x x x 其中 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ n α ! )1()1( n α α LL −α− n + , (n = 1,2,…) 和 。1 0 =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛α 设函数f (x)在 x0 的某个邻域O(x0, r)中任意阶可导，要求它在O(x0, r)中的幂级数 展开，一开始就考虑利用公式（*）往往不是明智之举。下面我们通过具体实例 介绍幂级数展开的一些方便而实用的方法： 1． 通过各种运算与变换，将函数化成已知幂级数展开的函数的和。 例 1 求 2 253 1 )( x x xf −+ = 在 x = 0 的幂级数展开。 解 利用部分分式得到 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅+ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⋅= x x xf 21 1 7 2 3 1 1 21 1 )( ， 再利用（6）式（α −= 1），得到 ( ) n n n n xf ∑ x ∞ = + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = −− 0 1 1 2 3 1 7 1 )( ， ). 2 1 , 2 1 x (−∈ 例2 求 = sin)( 3 xxf 在 6 π x = 的幂级数展开。 解 ) 6 (3cos 4 1 ) 6 ( 6 sin 4 3 3sin 4 1 sin 4 3 sin)( 3 ππ π ⎟ − − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ xxxxf x −+=−== x ) 6 (3cos 4 1 ) 6 cos( 8 3 ) 6 sin( 8 33 π π π = x x −−+− x − ， 2