利用(2)式与(3)式,即得到 3√3 f(x)= ∑ (x-2)-3()(2.32-1-1x-2 8z(2n+1) 例3求f(x)=lnx,(x>0)关于变量的幂级数展开 x 解令1=x+1则x=1=1,(01<)利用(5)式,即得到 1+t Inx= In +1)-l(-1)=∑ n 2n+1=2 x-1、2n+1,x> 0. 2.对已知幂级数展开的函数进行逐项求导或逐项积分。 例4求∫(x)=-2在x=1的幂级数展开 解由于g(xyf) (x-1),利用逐项求导,即可得到 f(x)=-g(x)=∑m(x-1)=∑(m+1(x-1)”,x∈(0,2) 例5求f(x)= arcsin X在x=0的幂级数展开 解利用6试(a=-2),可知当xe(1.)时 =(1-x2) ) n 8 (2m)! 对等式两边从0到x积分,利用幂级数的逐项可积性与 d t arcsin x, 即得到 arcsinx=x+ (2n-1) m(2m)!2n+1 x∈[-1,1] 其中关于幂级数在区间端点x=±1的收敛性,可用Rabe判别法得到 特别,取x=1,我们得到关于π的一个级数表示: n=0(2n)!2n∠1° 3.对形如(x)(x),(x)的函数,可分别用Chy乘积与“待定系数法” 设f(x)的幂级数展开为∑anx",收敛半径为R,g(x)的幂级数展开为∑bnx 收敛半径为R2,则f(x)g(x)的幂级数展开就是它们的 Cauchy乘积利用（2）式与（3）式，即得到 ).,(,) 6 )(132( )!2( )1( 8 3 ) 6 ( )!12( )1( 8 33 )( 12 2 0 0 12 −−⋅ +∞−∞∈ − −− + − = − ∞ = ∞ = + ∑ ∑ x x n x n xf n n n n n n n π π 例3 求 = xxxf > )0(,ln)( 关于变量 1 1 + − x x 的幂级数展开。 解 令 , 1 1 + − = x x t 则 )10(, 1 1 << − + = t t t x 。利用（5）式，即得到 )1ln()1ln( 1 1 lnln tt t t x −−+= − + = n n n n n t n t n ∑∑ ∞ = ∞ = + + − = 1 1 1 )1( 1 .0,) 1 1 ( 12 1 2 12 1 2 1 12 12 1 > + − ⋅ + =⋅ + = ∑ ∑ ∞ = + + ∞ = x x x n t n n n n n 2．对已知幂级数展开的函数进行逐项求导或逐项积分。 例 4 求 2 1 )( x xf = 在 x = 1 的幂级数展开。 解 由于 ∑ ∞ = −= −+ == 0 )1( )1(1 11 )( n n x xx xg ，利用逐项求导，即可得到 ).2,0(,)1)(1()1()(')( 1 0 1 ∑ ∑ ∈−+=−=−= ∞ = ∞ = − xnxgxf xxn n n n n 例 5 求 f (x)= arcsin x 在 x = 0 的幂级数展开。 解 利用(6)式 ) 2 1 (α −= ，可知当 x∈(-1,1)时， 2 1 1 − x = 2 1 2 )1( − − x = ∑ ∞ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− 0 2 2 1 )( n n x n = 1 + 2 2 1 x + 4 8 3 x + … + n x n n 2 !)!2( − !)!12( + …， 对等式两边从 0 到 x 积分，利用幂级数的逐项可积性与 ∫ − x t t 0 2 1 d = arcsin x， 即得到 arcsin x = x + ∑ ∞ = + + − 1 12 12!)!2( !)!12( n n n x n n ， x∈[-1, 1]。 其中关于幂级数在区间端点 x = ±1 的收敛性，可用 Raabe 判别法得到。 特别，取 x = 1，我们得到关于π的一个级数表示： 2 π = 1 + ∑ ∞ = + ⋅ − 0 12 1 !)!2( !)!12( n nn n 。 3．对形如 xgxf )()( ， )( )( xg xf 的函数，可分别用 Cauchy 乘积与“待定系数法”。 设 f (x) 的幂级数展开为∑ ，收敛半径为R ∞ n=0 n n xa 1，g(x) 的幂级数展开为∑ , 收敛半径为R ∞ n=0 n n xb 2，则f (x)g(x)的幂级数展开就是它们的Cauchy乘积： 3