定理322:如果∑an收敛,则对vE>0,3N,只要n>N,就有∑a<E 如果在 Cauchy准则中令k=1,则有 定理3.2.3:如果∑a4收敛,则ima4=0 例321:级数∑称为调和级数求证=+∞ k 11 证明:对于任意n,-+-+… 令 则对 nn+1 2n2 任意n,有++…+>0.∑不满足 Cauchy准则,因而∑发散由 0得 k =+ k=1 sin kx 例3.2.2:Vx∈R,证明 收敛 证明:由 sin(n+1)x n(n+k)x 1 ≤ 因 此VE>0,取N使<E,则n>N,k=0,1,2…时恒有 sin(n+I)x sin(n+k)x n+1 <E 满足 Cauchy准则,因而收敛 定理324:如果∑收敛,则∑a收敛 证明:因∑同收敛,则满足 Cauchy准则,即vE>0,玉N,只要n>N,k=02 就有an+…+{nk<E.但49 定理 3. 2. 2：如果å +¥ n=1 an 收敛, 则对"e > 0, $N , 只要n > N , 就有 å < e +¥ k =n ak . 如果在 Cauchy 准则中令k =1, 则有 定理 3. 2. 3：如果å +¥ k=1 ak 收敛, 则 lim = 0 ®+¥ k k a . 例 3. 2. 1：级数å +¥ =1 1 k k 称为调和级数. 求证å = +¥ +¥ =1 1 k k . 证明：对于任意 n , 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 + + > + + + = + + n n n n n n L L . 令 2 1 e0 = , 则对 任意 n , 有 0 2 1 1 1 1 + + > e + + n n n L . å +¥ =1 1 k k 不满足 Cauchy 准则, 因而 å +¥ =1 1 k k 发散. 由 0 1 > k 得å = +¥ +¥ =1 1 k k . 例 3. 2. 2："x Î R , 证明å +¥ =0 2 sin k k kx 收敛. 证明：由 n k n n k n n k n n x n k x 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 sin( ) 2 sin( 1) 1 1 1 1 < - - £ + + = + + + + + + L + + L + + . 因 此"e > 0, 取N 使 < e N 2 1 , 则n > N, k = 0,1,2L时恒有 < e + + + + n+ n+k n x n k x 2 sin( ) 2 sin( 1) 1 L . å +¥ =0 2 sin k k kx 满足 Cauchy 准则, 因而收敛. 定理 3. 2. 4：如果å +¥ k=1 ak 收敛, 则å +¥ k=1 ak 收敛. 证明：因å +¥ k=1 ak 收敛, 则满足 Cauchy 准则, 即"e > 0, $N , 只要n > N, k = 0,1,2L, 就有 + + < e an+1 L an+k . 但