定理3..3:设∑a是给定的级数,定义[O+∞)上的函数f(x)为f(x)=a4如果 x∈[k,k+1),则∑a收敛的充分必要条件是「,f(x)d收敛如果∑a收敛,则 ∑a=「"f(x)dk 证明:如果厂f(x)收敛则由∑a=sn=」 f(x)dx得 ∑a=lms=lmn∫"f()k=lmn「,f(x)k 反之,设∑a收敛,则对T∈(1+),有 ∫f(k=门/(k+m/(k=+(-pn 由∑a收敛知mna4=0.因此 lm∫/(对k=m+m(-pm1=lm=∑a 由这一定理,级数可以表示为无穷积分.因此我们可以利用上一章中给出的关于无穷积 分的许多方法和结果来研究级数 §3.2无穷级数的 Cauchy准则和绝对收敛性 设{sn}是级数∑a的部分和,利用序列极限的 Cauchy准则,我们不难得到级数收敛 的 Cauchy准则 定理3.2.1 Cauchy准则):级数∑an收敛的充分必要条件是vE>0,N,只要 n>Nk=012…,就有snk-sn|=km+…+ank|<E 证明:(思考题) 在 Cauchy准则中令k→+∞,则得48 定理 3. 1. 3：设å +¥ k=1 ak 是给定的级数, 定义[0,+¥) 上的函数 f (x) 为 ak f (x) = . 如果 x Î[k, k + 1) , 则å +¥ k=1 ak 收敛的充分必要条件是 ò +¥ 1 f (x)dx 收敛. 如果 å +¥ k=1 ak 收敛, 则 å ò +¥ = +¥ = 1 1 ( ) k ak f x dx . 证明：如果ò +¥ 1 f (x)dx 收敛, 则由å ò + = = = 1 1 1 ( ) n n k ak sn f x dx 得 å ò ò +¥ ®+¥ + ®+¥ +¥ = ®+¥ = = = 1 1 1 1 a lim s lim f (x)dx lim f (x)dx n n n k n n k . 反之, 设å +¥ k=1 ak 收敛, 则对"T Î (1,+¥) , 有 [ ] [ ] [ ] ( [ ]) T [T ] T T T T f x dx = f x dx + f x dx = s + T - T a ò ò ò -1 1 1 ( ) ( ) ( ) . 由å +¥ k=1 ak 收敛知 lim = 0 ®+¥ k k a . 因此 [ ] ( [ ]) ò [ ] [ ] å +¥ = - ®+¥ ®+¥ - ®+¥ ®+¥ = + - = = 1 1 1 1 lim ( ) lim lim lim k T k T T T T T T T f x dx s T T a s a . 由这一定理, 级数可以表示为无穷积分. 因此我们可以利用上一章中给出的关于无穷积 分的许多方法和结果来研究级数. §3. 2 无穷级数的 Cauchy 准则和绝对收敛性 设{ }n s 是级数å +¥ k=1 ak 的部分和, 利用序列极限的 Cauchy 准则, 我们不难得到级数收敛 的 Cauchy 准则. 定理 3. 2. 1（Cauchy 准则）：级数 å +¥ n=1 an 收敛的充分必要条件是 "e > 0, $N , 只要 n > N, k = 0,1,2L, 就有 - = + + < e n+k n an+ an+k s s 1 L . 证明：（思考题）. 在 Cauchy 准则中令k ® +¥, 则得