证明:级数的部分和sn=∑ 因此 k(k+1)(kk+1 k(k+1)=加msn 例3.1.2:任给x∈R,证明级数∑收敛,并求其和 证明:利用函数f(x)=e的 Taylor公式,对于任意n,存在日n,0<n<1,使得 0<e xx”c<-xe,因而lm k!(n+1)(n+1) kI 我们将级数∑a的收敛和求和问题化为由其部分和构成的序列{sn}的收敛和求极限 问题.利用序列极限的性质容易得到 定理3.1如果∑a,∑b收敛,则vc∈R,∑ca和(a+b2)收敛并且 ∑a,∑(a+b)=∑a+∑ 定理312:如果∑an收敛,则 lim a=0 证明:由an=Sn-Sn an收敛等价于{sn}收敛因此 lim a,= lim(s,-Sn=lim s,-lim s_=0 设{Sn}是一给定的序列,定义a1=S,ak=Sk-Sk-1,k=2,3,…则{Sn}是级数 ∑a的部分和构成的序列因此}的收敛和求极限问题就是级数∑a的收敛和求和 问题.所以序列和级数是表示极限理论的两个等价的工具.但另一方面级数作为加法的推广 又有其自身独特的问题、特点和研究方法.例如我们可以将级数看作一个无穷积分47 证 明 ： 级数的部分和 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 + ÷ = - ø ö ç è æ + = - + = å å = k k = k k n s n k n k n , 因 此 å +¥ = ®+¥ = = 1 + lim 1 ( 1) 1 k n n s k k . 例 3. 1. 2：任给x Î R , 证明级数å +¥ =0 ! k k k x 收敛, 并求其和. 证明：利用函数 x f (x) = e 的 Taylor 公式, 对于任意n , 存在qn , 0 < qn < 1, 使得 x n x n n k k x e n x e n x k x e ! ( 1)! ( 1)! 0 1 0 + < + < - = + = å q , 因而 x n k k n e k x å = = ®+¥ 0 ! lim . 我们将级数 å +¥ k=1 ak 的收敛和求和问题化为由其部分和构成的序列{ }n s 的收敛和求极限 问题. 利用序列极限的性质容易得到 定理 3. 1. 1：如果å å +¥ = +¥ =1 1 , k k k ak b 收敛, 则"c Î R , å å( ) +¥ = +¥ = + 1 k 1 k k k cak和 a b 收敛并且 å å å( ) å å +¥ = +¥ = +¥ = +¥ = +¥ = = + = + 1 1 1 1 1 , k k k k k k k k k k cak c a a b a b . 定理 3. 1. 2：如果å +¥ n=1 an 收敛, 则 lim = 0 ®+¥ n n a . 证明：由 n = n - n-1 a s s , å +¥ n=1 an 收敛等价于{ }n s 收敛. 因此 lim lim ( ) lim lim 0 = - 1 = - -1 = ®+¥ ®+¥ - ®+¥ ®+¥ n n n n n n n n n a s s s s . 设 { }n s 是一给定的序列, 定义 a1 = s1 , ak = sk - sk-1 , k = 2,3,L . 则{ }n s 是级数 å +¥ k=1 ak 的部分和构成的序列. 因此{ }n s 的收敛和求极限问题就是级数 å +¥ k=1 ak 的收敛和求和 问题. 所以序列和级数是表示极限理论的两个等价的工具. 但另一方面级数作为加法的推广, 又有其自身独特的问题、特点和研究方法. 例如我们可以将级数看作一个无穷积分