同理a>0时,f(a)=fan)-d=Jf(an“dan)=-(nl°ah 综上,乳f(a=F 4.若F(o)=[/(,证明(象函数的位移性质) s[F(o干a)=ef(),即F(o干a)=eyf( iEs[e*o/()]=e f((e o"dt=/(e eio"dt=F(@%) 5.若F(o)=S[(,证明(象函数的微分性质):F(a)=[-jf() 证 F(o do do f(eio= fide dt =[-jyf()e dr=s[-juf(() 6.若F(a)=[f(,证明(翻转性质) F(-o)=[(-) 证F(-0)=」f()c=J(-le(-)-(-l=[() 7.若F(a)=[f(,证明:S[f() cost=[F(a-an)+F(o+ slf(sino ]=[F(O-Oo)-F(o+Oo) eJeb' te- Jer !cos@ l=f() =21F(o-a)+F+an) sL(sin O/=L/( jo' -jetc [F(O-00)-F(+0 8.利用能量积分」UOb=1F(o)l,求下列积分的值 ∞(1+x2)2 解(1) 广xh22厂(m3)a厂= sin x ox 1+okx+同理 a > 0 时，¶ -i -i -i 1 1 1 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) at u t a a f at f at e dt f at e d at f u e du F a a a ω ω ω a +∞ +∞ +∞ ω −∞ −∞ −∞ = = = − = − ∫ ∫ ∫ ； 综上，¶[ ] 1 ( ) | | f at F a a ⎛ ⎞ ω = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠。 4．若 F( ) ω = ¶ [f ( )t ]，证明（象函数的位移性质）： ¶ [ ] ( ) 0 1 j 0 ( ) t F e f ω ω ω − ± ∓ = 0 t ，即 F( ) ¶ ( ) 0 j [ ] t e f t ± ω ω ∓ω = 。 证 ¶ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 j j j j( ) 0 [ ] ( t t t t e f t e f t e dt f t e dt F ω ω ω ω ω ω ω ) +∞ +∞ ± ± − − −∞ −∞ = = = ∫ ∫ ∓ ∓ 。 5．若 F( ) ω = ¶ [f ( )t ]，证明（象函数的微分性质）： ( ) d F d ω ω = ¶[ j − tf (t)]。 证 ( ) d F d ω ω = ( ) ( ) ( ) j j j t j d d t t f t e dt f t e dt tf t e dt d d ω ω ω ω +∞ +∞ +∞ − − −∞ −∞ −∞ = = − ∫ ∫ ∫ − tf ( )t ] − ω ＝¶[ j 。 6．若 F( ) ω = ¶ [f ( )t ]，证明（翻转性质） F(−ω) = ¶[ ] f (−t) 证 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) i i t t F f t e dt f t e d t ω ω ω +∞ +∞ − − − − − −∞ −∞ − = = − − ∫ ∫ = ( ) i t f t e dt ω +∞ − −∞ − = ∫ ¶ ⎡ ⎤ f (−t) ⎣ ⎦ 。 7．若 F( ) ω = ¶ [f ( )t ]，证明：¶ 0 0 1 [ ( ) cos ] [ ( ) ( )] 2 f t ω t = − F ω ω + F ω +ω0 ， ¶ 0 0 1 [ ( )sin ] [ ( ) ( )] 2j f t ω t = − F ω ω − F ω +ω0 。 证 ¶ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 j j j j( ) j( ) 0 1 [ ( ) cos ] 2 2 t t e e t t t f t t f t e dt f t e dt f t e d ω ω ω ω ω ω ω ω − +∞ +∞ +∞ − − − − + −∞ −∞ −∞ + t ⎡ ⎤ = = + ⎢⎣ ⎥⎦ ∫ ∫ ∫ 0 0 1 [ ( ) ( )] 2 = − F ω ω ω + F +ω ； ¶ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 j j j j( ) j( ) 0 1 [ ( )sin ] 2j 2j t t e e t t t f t t f t e dt f t e dt f t e dt ω ω ω ω ω ω ω ω − +∞ +∞ +∞ − − − − + −∞ −∞ −∞ − ⎡ ⎤ = = − ⎢⎣ ⎥⎦ ∫ ∫ ∫ 0 0 1 [ ( ) ( )] 2j = − F ω ω ω − F +ω 。 8．利用能量积分 2 1 [ ( )] | ( ) | 2 2 f t dt F ω dω π +∞ +∞ −∞ −∞ = ∫ ∫ ，求下列积分的值： （1） 2 1 cos x dx x +∞ −∞ − ∫ ； （2） 4 2 sin x dx x +∞ ∫−∞ ； （3） 2 2 1 (1 ) dx x +∞ −∞ + ∫ ； （4） ( ) 2 2 2 1 x dx x +∞ −∞ + ∫ 解 （1） 2 1 cos x dx x +∞ −∞ − ∫ =2 2 2 2 sin sin 2 x x dx dx x x +∞ +∞ −∞ −∞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ +∞ −∞ = 2π 1 ¶ dω x x 2 sin ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ （*） ¶ dx x x x e dx x x x x x ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ − = = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 0 i sin cos 2 sin sin ω ω ( ) ( ) dx x x x ∫ +∞ + + − = 0 sin 1 ω sin 1 ω （**）