h. 16.求高斯(Gms)分布函数0)=moeo的频谱函数 解教科书中P0,例2已解得钟形脉冲函数eB的傅氏变换为A,e,本题中A 所以 r()=[(O)]= 习题三 若F()=[(O)]F(o)=s[1()],a,B是常数,证明(线性性质) s[a1()+B1(0)=aF(a)+BF(o) [aF(o)+BF(o]=af(+Bf2(0 证s[af()+B()=[a1(0)+p()-ad=af()e-+(0)e-t =aF1(0)+BF2(o) 2.若F()=(),证明(对称性质(0)=)厂F()-d,即F()=27/() 证因()=「"F(o)"do,令x=-1,f(-)=1「"F(ol"do 令t=O,则f(-0)= F(e di F(),即[F()]=2nf(-o) (*)式中令一1=0,则f(a)=厂 F(-n)ed-Ds、1 ∫"F(-1)-d=12sFo),即 [F(-1)]=2rf(o) 3若2(0,a为非零常数.,证明(相似性质)5(m-=1{ 证设a>0,有5(a)-al-h=厂rae="1(a)=1olw=Fgh A O ω 2ω 3ω 4ω ω 16．求高斯（Gauss）分布函数 2 2 2 1 ( ) 2 t f t e σ πσ − = 的频谱函数 解 教科书中 P10，例 2 已解得钟形脉冲函数 的傅氏变换为 2 t Ae−β 2 / 4 A e π ω β β − ，本题中 1 2 A πσ = ， 2 2 1 σ β = ，所以 F(ω)=¶ ( ) 2 2 2 2 2 i 2 1 2 t t f t e e dt e σ ω σ ω πσ +∞ − − − −∞ ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ ∫ 习题三 1．若 1 F ( ) ω = ¶ ⎡ ⎤ f1 ( )t ⎣ ⎦ ， 2 F ( ) ω =¶ ⎡ ⎤ f2 (t) ⎣ ⎦ ，α,β 是常数，证明（线性性质）： ¶ 1 2 ( ) ( ) 1 2 ⎡ ⎤ α f t + = β α f t F ( ) ω + β F ( ) ⎣ ⎦ ω ， ¶ [ ] ( ) ( ) 1 1 2 1 2 α ω F F ( ) β ( ) ω α f t β f − + = + t 。 i t 证 ¶ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i 1 2 1 2 1 2 t t f t f t f t f t e dt f t e dt f t e ω ω α β α β α β +∞ +∞ +∞ − − −∞ −∞ −∞ ⎡ ⎤ + = ⎡ ⎤ + = + ⎣ ⎦ ∫ ∫ ⎣ ⎦ ∫ dt − ω 1 2 = + αF F ( ) ω β (ω) 2．若 F( ) ω = ¶ [f ( )t ]，证明（对称性质）： 1 j ( ) ( ) 2 t f F t e dt ω ω π +∞ − −∞ ± = ∫ ∓ ，即¶[ ( F t ∓ )] = 2π f (±ω) 。 证 因 1 i ( ) ( ) 2 t f t F e ω ω dω π +∞ −∞ = ∫ ，令 x = −t ， 1 -i ( ) ( ) 2 t f t F e ω ω dω π +∞ −∞ − = ∫ （*） 令t = ω ，则 1 1 -i ( ) ( ) 2 2 t f F t e dt ω ω π π +∞ −∞ − = = ∫ ¶[ ( F t)]，即¶[ ( F t)] = 2π f (－ω) ； （*）式中令 －t = ω ，则 1 1 -i -i ( ) ( ) ( ) 2 2 t t f F t e d t F t e d ω ω ω 1 2 t π π π +∞ +∞ −∞ −∞ = = ∫ ∫ － （－ ） － ＝ ¶ ，即 ¶[ ( [ ( F t)] F t － )] = 2π f (ω) 。 3．若 F( ) ω = ¶ [ ] f ( )t ， a 为非零常数，证明（相似性质）¶[ ] 1 ( ) | | f at F a a ⎛ ⎞ ω = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠。 证 设 a > 0 ，有¶ -i -i -i 1 1 1 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) at u t a a f at f at e dt f at e d at f u e du F a a a ω ω ω a +∞ +∞ +∞ ω −∞ −∞ −∞ = = = = ∫ ∫ ∫ ；