第三章化模型匹配问题为广义距离问题 由(3.9)和(3.10)可得 I-- D)D=(D-D"DR-D")=0, I-DR-1 于是X满足(311).如果能证明这个方程有使A+BF=A-BR-(DC+BX)稳定的解X,则(3.12) 就给出了G∈RHBm的一个 inner-outer分解。 注意,我们现在讨论的问题是,是否可以选择状态反馈阵F使G1(A+BF,B,C+DF,D)成 为inr矩阵,其中G当(A,B,C,D)稳定。要证明(311)确实有满足上述条件的解x,从而可以按 照(313)构造F,需要 Riccati方程理论。由于状态反馈可能改变系统的可观测性,(C+DF,A+BF)可 能不完全可观测。但只要A+BF稳定,按X的意义,它应为半正定的实对称矩阵。 注3.2由于G稳定,对G做右质分解时D必然是逆也稳定的传递函数矩阵。若分子N为ier矩 阵,则G=ND-1同时也是 inner- outer分解。所以, inner-outer分解只是分子是 inner矩阵的右互质 分解:Dx=G。,N=G1.由引理2.4,可取G。和G1如(3,12) Riccati方程论 E=A-BR DC, W=-BRB, Q=C DIDIC 则(3.11)又可写为 +nwX+Q=0. 这里E,W,Q∈RX,W=W”,Q=Q.(3.17)是Rati方程的一般形式。我们感兴趣的是(317是 否存在实的、半正定且使得E+WX稳定的解X.如果这样的解存在,则称之为ARE(317)的镇定解 ( stabilizing solution).镇定解X的物理意义可以这样解释。为简便起见,设D=0.考虑系统 Aae+ b (0) 的最优控制问题:寻找控制量u,使得指标函数 J会/(y+u2Ru)d 取最小值。 Kalman[]给出了这个优化问题的解 R-B Xa 其中X满足ARE A'X+XA-XBR-B"X+C"C=0 注意u是状态反馈,而在状态反馈下闭环系统的A矩阵为A+BK=A-BR-1BX=A+WX.显然 J只有在闭环系统稳定的情况下才存在,所以,A+BK=A+WX必须稳定。 注意, Riccati方程可以看作是矩阵形式的一元二次代数方程az2+bx+c=0.若用该方程的系数定 矩阵 H 则-4det(H)即一元二次方程的判别式△=b2-4a.一元二次代数方程的解的性质完全由△决定。受这 个启发,我们用ARE(3.17)的系数定义丑 amilton矩阵 我们将会看到, Riccati方程的解及其性质完全由H的特征值和特征空间的性质所决定。➣ ↔ ↕✗➙✣➛➝➜✙➞✥➟✓➠➢➡✥➤❜➥✥➦✗➧✙➨✗➩✥➫✥➤❜➥ ➭✿➯ ➲ ➳ ➵ ➸t➺✮➯ ➲ ➳ ➻ ↔ ➸➽➼❊➾ ➯ ➚❭➪✣➶✞➹✲➘❈➴ ➶✞➷ ➸ ➷ ➶✪➬✥➯➶✞➷④➪✣➶✞➷ ➶✞➹✲➘❈➴ ➶✞➷ ➸ ➷③➬ ↔④➮ ➚❭➪✣➶✞➹✲➘❈➴ ➶✞➷③➬✗➶✞➱t➶✞➷➱✞✃ ❐✙❒❁❮✑❰✥Ï ➯ ➲ ➳ ➻ ➻ ➸ ➳➽Ð✗Ñ✥Ò✙Ó➓Ô➢Õ✗Ö✗×✥Ø✙Ù✗Ú❁Û❜Ü❊Ý✲Þ✓➬✗Û✙➪✣Ý✲➹✲➘❈➴ ➯➶✞➷ ß❊Ü❊Ý✲➷ ❮➸③à✗á✥â❊ã ❮❜ä å ➯ ➲ ➳ ➻ æ ➸ ç✗è✥é✙ê❵ëíì✆î✞ï✞ð ñ ò ó â❊ô❊ÖPõöö÷ øù úûü ÷ ø③ý✙ã✥þ ÿ✁￾✄✂✆☎✞✝✠✟☛✡☛☞☛✌â✞✍✠✎❒✂ ❒✞✏➼✄✑✓✒✄✔✁✕✄✖✁✗☛✘✚✙✿Þ✪Ú✁ë✜✛✣✢➬❭➬✪➯ ✢ ✤ Û➢Ü➢Ý✲Þ ➮ Ý ➮ ß✣Ü❜➶✞Þ ➮ ➶❊➸✦✥ ✧⑤õöö÷ ø✩★✪✙✂✬✫✚✭ ë ✢➬❭➬➓➯ ✢ ✤ Û ➮ Ý ➮ ß ➮ ➶✞➸④à✙á✗þ✬✮✙Ó✪Ô✿➯ ➲ ➳ ➻ ➻ ➸✰✯☛✱❊Ù❰✗Ï✁✲☛✳☛✴✞✵â❊ã ❮ ✂✬✶☛✷➼✄✑✓✸ ✹ ➯ ➲ ➳ ➻ ➲ ➸✻✺☛✼PÞ ä ✽✮✿✾❃õ ❀ ❀❁ü õ❱×✗Ø✁❂✌þ❜➭ ❐✕✞✖☛✗☛✘✥➼✙Ò☛❃☛❄✄❅✠❆✓â❊➼☛❇☛❈☛❉✂ ➯ ß❊Ü➢➶✞Þ ➮ Û➢Ü❜Ý✲Þ✲➸➽➼ Ò☛❊☛❋✁●✗➼✁❇☛❈✓þ■❍✪❏✠✮PÛ✗Ü❊Ý✲Þ✓à✙á✂ ✸ ❮ â￾✞❑✞✂✓▲✁▼✧☛◆☛❖✥á✥â✁✱☛P✞◗☛★✪✙✙þ ❘❚❙❱❯ ❲❨❳✠❩❵ë❨❬✁❭✂✬❪ ë❴❫✞❵☛❛✁❜☛❝☛❞✄❡❣❢✁❤✩✐✄❥✠❦☛❧☛♠☛❬✁❭✪♥✠♦✞♣✄q✠r✞s✪t❊þ✬✉✁❝✞✈①✇✪❤③②⑤④⑥⑥✣⑦ ⑧✰s t ✂✠⑨ ë➓➬✞✇☛❤❢ ➘❈➴ ❤❶⑩ ❡✠♠☛❦①④⑥⑥✣⑦ ⑧❷ ❸❹❺ ⑦ ⑧❻❝☛❞✗þ✓❼✄❽ ✂ ④⑥⑥✣⑦ ⑧❷ ❸❹❺ ⑦ ⑧❾❝☛❞✚❿■❦☛❝✞✈✁❦①④⑥⑥✣⑦ ⑧➀s✪t✁♥✁❵☛❛✁❜ ❝☛❞✞➁➂❢✠❤t➬✥ë➘❈➴ ➃✪➄ ✇☛❤➽➬✥ë➀✛ ➅❻❳✞➆■➇➉➈ ➅ ➊ ➄✦➋✁➌ ë➘❈➴ ➃➎➍ ë➀✛✦➏➂➐➑ ➅ ➒ ➈➓ ➅ ➔✣→✰➣ →↕↔✁➙ ➛❱➛❱➜✻➝ ➙❻➞➠➟❨➡ ➢ ➤ ➬❊Û✙➪➢Ý✲➹➘❈➴ ➶➷ ß ➮①➥ ➬✥➪③Ý✲➹➘❈➴ Ý ➷ ➮❚➦ ➬✗ß➷ ➶✞➱➽➶➷➱ ß ➮ ➯ ➲ ➳ ➻ ➧ ➸ å ➯ ➲ ➳ ➻ ➻ ➸➩➨✙➼☛➫☛✧✞➁ ➤➷ ❮ Ü ❮➤ Ü ❮➥❮ Ü ➦ ➬ ↔④➮ ➯ ➲ ➳ ➻ ➭ ➸ Õ✞➯ ➤◗➮ ➥❜➮ ➦ ì➢î✆➲ ñ ➲ ä ➥ ➬ ➥➷ ä ➦ ➬ ➦ ➷ ➳✶➯ ➲ ➳ ➻ ➭ ➸ ❒ ✾❃õ ❀ ❀❁ü õ❈×✥Ø✥â✙ô☛➳✞➵✞➸✓þ ☎✄✝✁➺✞➻✞➼â❒ ➯ ➲ ➳ ➻ ➭ ➸ ❒ ✏☛➽✡✱✥â✞➾■◆✞❖✥á☛➚✗Ú✗➾ ➤ Ü ➥❮ à✗á✥â❊ã ❮ ➳➢Ð✗Ñ✗Õ✞➪✓â❊ã➽✡✪✂ å◗✞➶✞✧①➹❻✾③➘④➯ ➲ ➳ ➻ ➭ ➸✞â✁➴✥á✙ã ➯ ➷ ü ❁➬õ ➮ õ ➱ õö✃➀➷ú➮ûü õ úö❱➸ ➳✻➴✗á❊ã ❮ â✠❐☛❂￾✞❑➼✄✑✣Õ☛➪✗ã☛❒✓þ✓✧☛❮☛❰✞Ï✞Ð✂■Ñ ➶í➬ ↔ ➳✻Ò☛Ó✄❅✠❆ Ô Õ ➬ Û Õ Ü❊Ý❻Ö ➮ Õ ➯ ↔ ➸➽➬ Õ✦× Ø ➬ ß Õ â✠Ù☛Ú☛Û☛Ü✪✍✓✎✪➁■Ý✄Þ✁Û✞Ü☛ß✿Ö ä Ú✙➾✞à☛á✞â✠ã ä✓å➬☛æ ó × ➯ Ø ➷ Ø Ü✓Ö ➷ ➹③Ö④➸ çè éÙ✞ê✁ë✥þ⑤ì③❁➮í✆❁ö✻î ➻ ïtè✥é✙ê➢Õ✙Ö☛Ú☛ð✚✍✓✎✓â✣ã Ö✣➬✥➪③➹➘❈➴ Ý ➷ ❮Õ ✫✚✭ ❮✑❰✗Ï ➹❻✾③➘ Û➷ ❮ Ü ❮Û✙➪ ❮Ý✲➹➘❈➴ Ý ➷ ❮ Ü✣ß➷ ß✗➬ ↔④✃ ÿ☛￾ Ö ❒✕✄✖☛✗✞✘✂■✷✞✡✕✄✖☛✗☛✘✄ñ✪ò✁ó✞❅✁❆✓â⑤Û❃ù❱★✚✙✁✧❵Û❊Ü❊Ý❾ô✑➬✗Û✙➪➢Ý✲➹✲➘❈➴ Ý✲➷ ❮ ➬✗Û❊Ü ➥❮ ➳③õ☛ö ä ❏✣Ù✡ò✠ó✞❅✠❆✥à✙á✥â✠÷✞ø✄ñ☛ù➽✡✪✂■ú✑ ✂ Û✗Ü❊Ý❾ôí➬✙Û✣Ü ➥❮üû☛ýà✙á✗þ ÿ✁￾✄✂ ✾❃õ ❀ ❀❁ü õ✎×✗Ø✙➼✄✑✓þ☛ÿ❒★✪✙✠➵☛➸✓â❊ô✁￾✄✂✁☎✄✆☛ã✗×✗Ø✞✝ ✟✡✠❃Ü☞☛✟❭Ü✍✌③➬ ↔ ➳✏✎✄✑☞✒✙×✗Ø✗â☛❅✁ã✗á ❑★✪✙ ✓ ➬✕✔✕✖✠ ✝ ➪✗✌ ➪ ✖✠✍✘ ➮ å ➪ ➣✙÷ ü ➯✓➸✗✚❊ô☞￾✁✂✁☎✙×✗Ø✥â☞✛✁✜☛➸✞✢✄➬✄☛ ✠➽➪ ➣✝✌ ➳tô☞￾✁✂✁☎✁✆☛ã✗×✗Ø✥â✣ã✓â✠❉✤✣☛❋☛●➓➭✥✢✧✦✗á✗þ✩★❊Õ Ö✤✪✬✫✂✓☎✞✝✑⑤➹❻✾③➘④➯ ➲ ➳ ➻ ➭ ➸❭â☛❅✠ã✗á❑✮✭❁í✆õ ➮ ü úö✜★✪✙ ✓✰✯ ➬✥✔ ➤ ➥ ➪ ➦ ➪ ➤➷ ✘ ✃ ➯ ➲ ➳ ➻ ✱ ➸ ☎✞✝✬✲✁✳þ✁✴✂ ✾❃õ ❀ ❀❁ü õ➽×✗Ø✗â✣ã✁✵✫❉✄✣✞❋☛●➓➭ ✓ â✬✶✄✷✁ë✙➺✁✶✄✷✤✸✄✹✙â✠❉✤✣ú✦✥á✗þ