·60* 北京科技大学学报 第34卷 本文首先对机器人的仿真模型及其动力学进行 附录 了介绍：随后研究了一个典型的纯被动步行，并对 因为模型中无任何驱动器，步行过程中其能量 不同的步行方式进行了分析比较；针对不稳定的步 仅来自于重力势能做功，所以式(1)的右端为0 行方式设计了一个步行稳定器，并给出了仿真结 1.2支撑腿切换阶段 果：最后对论文进行了分析总结 当机器人双腿的状态满足约束 1机器人模型 01+02-2y=0 (2) 时，机器人的摆动脚着地，支撑腿与摆动腿的角色 本文所研究的有躯干双足机器人模型如图1所 进行转换，即 示.该机器人模型为平面模型，其运动被约束在二 r81=02, 维平面中.该模型为三杆结构，共有四个质点，分 0=01, (3) 别为躯干质点m。、骻关节质点m,和腿部质点m1 03=0. (左右腿各1个).机器人模型的腿及躯干均作为无 式中，上角标“-”表示切换之前的变量，上角标 转动惯量的刚性杆处理。模型参数的具体数值见表1. “+”表示切换之后的变量 这个双腿切换过程可以作为瞬间完全非弹性碰 撞处理，碰撞前的机器人系统与碰撞后的机器人系 统应满足如下的角动量守恒关系：整个机器人系统 对于新的支撑点的角动量守恒：机器人的躯干对于 骻关节的角动量守恒；机器人新的摆动腿对于骻关 节的角动量守恒 这些守恒关系可用方程形式表示为 H(0*)0+=(0）0. (4) 式中，0=(8，日2,0)T.该方程的详细表达式见 附录 机器人在单腿支撑阶段的连续运动与支撑腿切 图1有躯干机器人模型 换阶段的瞬间碰撞，构成了机器人一个完整的步行 Fig.1 Model of a biped robot with a torso 过程. 图1中，Y表示斜面的坡度，机器人的状态参 2被动行走 量0，、02和0均以水平地面的垂直法线方向作参 考，顺时针方向为正.0，为支撑腿角度，02为摆动 本文采用Matlab科学计算软件的Odel13数值 腿角度，0为躯干角度. 积分方法，对机器人的步行运动进行了仿真，精度 为10-8.机器人模型摆动脚着地动作用Odel13的 表1机器人模型参数 Table 1 Parameters of the robot model Event'函数进行检测. m./kg m /kg m/kg 1/m h/m 1/m g/(m's-2) 2.1典型的被动行走 10 10 50.50.50.5 9.81 图2为机器人模型典型单周期步行的一个棍状 示意图.在此行走过程中，斜面坡度为0.05ad,机 机器人完整的一步行走过程，可以分为两个阶 器人的初始状态为(81,02,03,81,02,03)= 段处理：单腿支撑阶段以及支撑腿切换阶段 (-0.19697,0.29697,-0.03792,1.06195, 1.1单腿支撑阶段 0.35413,-0.60450),步行周期为0.718s,步行长 在单腿支撑阶段中，机器人模型的支撑脚着 度为0.489m,但该步行不稳定（步行的稳定性会在 地，摆动腿向前摆动.支撑脚与地面的接触作为光 后文中阐述). 滑铰链结构处理，并且忽略摆动脚与地面的刮蹭。 图3为模型在该步行中，各关节角随时间变化 整个机器人系统的动力学方程可表示为 的曲线.从图4中的闭合曲线可以看出该步行的周 M(0)0+N(0,0)+G(0)=0. (1) 期性. 式中，0=(0,02,03)T.该方程的详细表达式见 虽然机器人躯干是一个倒立摆模型，但其在不北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 本文首先对机器人的仿真模型及其动力学进行 了介绍; 随后研究了一个典型的纯被动步行，并对 不同的步行方式进行了分析比较; 针对不稳定的步 行方式设计了一个步行稳定器，并给出了仿真结 果; 最后对论文进行了分析总结． 1 机器人模型 本文所研究的有躯干双足机器人模型如图 1 所 示． 该机器人模型为平面模型，其运动被约束在二 维平面中． 该模型为三杆结构，共有四个质点，分 别为躯干质点 mu、骻关节质点 mh 和腿部质点 ml ( 左右腿各 1 个) ． 机器人模型的腿及躯干均作为无 转动惯量的刚性杆处理． 模型参数的具体数值见表1． 图 1 有躯干机器人模型 Fig． 1 Model of a biped robot with a torso 图 1 中，γ 表示斜面的坡度，机器人的状态参 量 θ1、θ2 和 θ3 均以水平地面的垂直法线方向作参 考，顺时针方向为正． θ1 为支撑腿角度，θ2 为摆动 腿角度，θ3 为躯干角度． 表 1 机器人模型参数 Table 1 Parameters of the robot model mu /kg mh /kg ml /kg lu /m lb /m la /m g /( m·s － 2 ) 10 10 5 0. 5 0. 5 0. 5 9. 81 机器人完整的一步行走过程，可以分为两个阶 段处理: 单腿支撑阶段以及支撑腿切换阶段． 1. 1 单腿支撑阶段 在单腿支撑阶段中，机器人模型的支撑脚着 地，摆动腿向前摆动． 支撑脚与地面的接触作为光 滑铰链结构处理，并且忽略摆动脚与地面的刮蹭． 整个机器人系统的动力学方程可表示为 M( θ) θ ·· + N( θ，θ · ) + G( θ) = 0． ( 1) 式中，θ = ( θ1，θ2，θ3 ) T ． 该 方 程 的 详 细 表 达 式 见 附录． 因为模型中无任何驱动器，步行过程中其能量 仅来自于重力势能做功，所以式( 1) 的右端为 0． 1. 2 支撑腿切换阶段 当机器人双腿的状态满足约束 θ1 + θ2 － 2γ = 0 ( 2) 时，机器人的摆动脚着地，支撑腿与摆动腿的角色 进行转换，即 θ + 1 = θ － 2 ， θ + 2 = θ － 1 ， θ + 3 = θ － 3 { . ( 3) 式中，上角标“－ ”表示切换之前的变量，上角标 “+ ”表示切换之后的变量． 这个双腿切换过程可以作为瞬间完全非弹性碰 撞处理，碰撞前的机器人系统与碰撞后的机器人系 统应满足如下的角动量守恒关系: 整个机器人系统 对于新的支撑点的角动量守恒; 机器人的躯干对于 骻关节的角动量守恒; 机器人新的摆动腿对于骻关 节的角动量守恒． 这些守恒关系可用方程形式表示为 Hn ( θ + ) θ · + = Ho ( θ － ) θ · － ． ( 4) 式中，θ · = ( θ · 1，θ · 2，θ · 3 ) T ． 该方程的详细表达式见 附录． 机器人在单腿支撑阶段的连续运动与支撑腿切 换阶段的瞬间碰撞，构成了机器人一个完整的步行 过程． 2 被动行走 本文采用 Matlab 科学计算软件的 Ode113 数值 积分方法，对机器人的步行运动进行了仿真，精度 为 10 － 8 ． 机器人模型摆动脚着地动作用 Ode113 的 ‘Event’函数进行检测． 2. 1 典型的被动行走 图 2 为机器人模型典型单周期步行的一个棍状 示意图． 在此行走过程中，斜面坡度为 0. 05 rad，机 器人的初始状态为 ( θ1，θ2，θ3，θ · 1，θ · 2，θ · 3 ) = ( － 0. 196 97，0. 296 97， － 0. 037 92，1. 061 95， 0. 354 13，－ 0. 604 50) ，步行周期为 0. 718 s，步行长 度为 0. 489 m，但该步行不稳定( 步行的稳定性会在 后文中阐述) ． 图 3 为模型在该步行中，各关节角随时间变化 的曲线． 从图 4 中的闭合曲线可以看出该步行的周 期性． 虽然机器人躯干是一个倒立摆模型，但其在不 ·60·