有躯干双足机器人被动行走及其稳定器

D0I:10.13374/.issn1001-053x.2012.01.011 第34卷第1期 北京科技大学学报 Vol.34 No.1 2012年1月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jan.2012 有躯干双足机器人被动行走及其稳定器 冯帅12) 孙增折)☒ 1)清华大学计算机科学与技术系，北京1000842)北京控制工程研究所，北京100190 通信作者，E-mail:szq-des(@mail.tsinghua.cdu.cn 摘要采用Mlb仿真的方式构建了一个简单的有躯干双足机器人模型，研究了该模型在斜坡上的被动行走，分析了模 型步行的稳定性，并设计了一个全状态线性反馈步行稳定器.研究结果表明：无任何驱动器的有躯干双足机器人能够实现沿 斜坡而下的被动行走，其步行方式有两种，但均不稳定：设计的全状态反馈稳定器能够较好地稳定模型的被动行走. 关键词双足机器人：被动行走；稳定性：稳定器 分类号TP242.6 Passive dynamic walking of a biped robot with torso and its stabilizer FENG Shuai,SUN Zeng-i 1)Department of Computer Science and Technology,Tsinghua University,Beijing 100084,China 2)Beijing Institute of Control Engineering,Beijing 100190,China Corresponding author,E-mail:saq-des@mail.tsinghua.edu.cn ABSTRACT A simulation model of a biped robot with torso was established using Matlab,the passive dynamic walking of this model was studied,the stability of the walking was analyzed,and a full-state linear feedback walking stabilizer was designed.Simulation re- sults show that the model can walk down a slope without any actuator and there are two unstable walking gaits on the same slope.The results also indicate that the model can realize stable walking by adopting the full-state feedback stabilizer. KEY WORDS biped robots:passive dynamic walking:stability:stabilizers 自Mcgeer于1990年提出被动行走(passive dy- 在以上的这些研究中，研究对象都是有驱动装 namic walking))概念以来，由于被动行走所特有 置的有躯干机器人.到目前为止，还没有学者对无 的节省能量、步行自然的特点，被动行走（或半被动 任何驱动装置的有躯干双足机器人的纯被动步行进 行走)已成为双足机器人步行研究的一个热点. 行研究.正如Mcgeer在其论文m中所说，只有对纯 到目前为止，学者们研究的对象主要是没有躯 被动步行有了足够了解以后，才能设计出合适的驱 千的双足机器人，如最简单型机器人和Compass-- 动器.正是基于此，本文对有躯干机器人的纯被动 Like型机器人).对于有躯干双足机器人步行的研 步行进行了研究.研究发现有躯干机器人模型只存 究相对较少，这方面的工作主要有：Howell和Bail- 在两种不稳定的步行方式，没有稳定的步行方式， lieul图研究了躯干被固定以后机器人步行运动的多 也没有多周期的步行方式. 周期现象：Wisse等在机器人两腿之间添加弹簧， 针对不稳定的步行，本文设计了一个步行稳定 并用机械约束保证机器人躯干位于双腿的角平分线 器.该稳定器为一全状态线性反馈控制器，其输出 延长线上，实现了机器人的下斜坡步行；Haruna 用以控制驱干与支撑腿之间的力矩.此稳定器与文 等0用一个PD控制器控制躯干，实现了有躯干机 献0]中PD控制器的关键区别在于此稳定器最大 器人下斜坡的行走：Narukawa等u用两个PD控制 限度地保证了步行的纯被动性.结果表明：采用此 器分别控制躯干和摆动腿，实现了机器人在水平地 稳定器能够实现有躯干双足机器人的稳定被动 面上的行走 行走. 收稿日期：201105-16

第 34 卷 第 1 期 2012 年 1 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 34 No． 1 Jan． 2012 有躯干双足机器人被动行走及其稳定器 冯 帅1，2) 孙增圻1) 1) 清华大学计算机科学与技术系，北京 100084 2) 北京控制工程研究所，北京 100190 通信作者，E-mail: szq-dcs@ mail． tsinghua． edu． cn 摘 要 采用 Matlab 仿真的方式构建了一个简单的有躯干双足机器人模型，研究了该模型在斜坡上的被动行走，分析了模 型步行的稳定性，并设计了一个全状态线性反馈步行稳定器． 研究结果表明: 无任何驱动器的有躯干双足机器人能够实现沿 斜坡而下的被动行走，其步行方式有两种，但均不稳定; 设计的全状态反馈稳定器能够较好地稳定模型的被动行走． 关键词 双足机器人; 被动行走; 稳定性; 稳定器 分类号 TP242. 6 Passive dynamic walking of a biped robot with torso and its stabilizer FENG Shuai 1，2) ，SUN Zeng-qi 1) 1) Department of Computer Science and Technology，Tsinghua University，Beijing 100084，China 2) Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190，China Corresponding author，E-mail: szq-dcs@ mail． tsinghua． edu． cn ABSTRACT A simulation model of a biped robot with torso was established using Matlab，the passive dynamic walking of this model was studied，the stability of the walking was analyzed，and a full-state linear feedback walking stabilizer was designed． Simulation re￾sults show that the model can walk down a slope without any actuator and there are two unstable walking gaits on the same slope． The results also indicate that the model can realize stable walking by adopting the full-state feedback stabilizer． KEY WORDS biped robots; passive dynamic walking; stability; stabilizers 收稿日期: 2011--05--16 自 Mcgeer 于 1990 年提出被动行走( passive dy￾namic walking) 概念［1］以来，由于被动行走所特有 的节省能量、步行自然的特点，被动行走( 或半被动 行走) 已成为双足机器人步行研究的一个热点［2--5］． 到目前为止，学者们研究的对象主要是没有躯 干的双足机器人，如最简单型机器人［6］和 Compass￾Like 型机器人［7］． 对于有躯干双足机器人步行的研 究相对较少，这方面的工作主要有: Howell 和 Bail￾lieul ［8］研究了躯干被固定以后机器人步行运动的多 周期现象; Wisse 等［9］在机器人两腿之间添加弹簧， 并用机械约束保证机器人躯干位于双腿的角平分线 延长线上，实现了机器人的下斜坡步行; Haruna 等［10］用一个 PD 控制器控制躯干，实现了有躯干机 器人下斜坡的行走; Narukawa 等［11］用两个 PD 控制 器分别控制躯干和摆动腿，实现了机器人在水平地 面上的行走． 在以上的这些研究中，研究对象都是有驱动装 置的有躯干机器人． 到目前为止，还没有学者对无 任何驱动装置的有躯干双足机器人的纯被动步行进 行研究． 正如 Mcgeer 在其论文［1］中所说，只有对纯 被动步行有了足够了解以后，才能设计出合适的驱 动器． 正是基于此，本文对有躯干机器人的纯被动 步行进行了研究． 研究发现有躯干机器人模型只存 在两种不稳定的步行方式，没有稳定的步行方式， 也没有多周期的步行方式． 针对不稳定的步行，本文设计了一个步行稳定 器． 该稳定器为一全状态线性反馈控制器，其输出 用以控制躯干与支撑腿之间的力矩． 此稳定器与文 献［10］中 PD 控制器的关键区别在于此稳定器最大 限度地保证了步行的纯被动性． 结果表明: 采用此 稳定器能够实现有躯干双足机器人的稳定被动 行走． DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2012.01.011

·60* 北京科技大学学报 第34卷 本文首先对机器人的仿真模型及其动力学进行 附录 了介绍：随后研究了一个典型的纯被动步行，并对 因为模型中无任何驱动器，步行过程中其能量 不同的步行方式进行了分析比较；针对不稳定的步 仅来自于重力势能做功，所以式(1)的右端为0 行方式设计了一个步行稳定器，并给出了仿真结 1.2支撑腿切换阶段 果：最后对论文进行了分析总结 当机器人双腿的状态满足约束 1机器人模型 01+02-2y=0 (2) 时，机器人的摆动脚着地，支撑腿与摆动腿的角色 本文所研究的有躯干双足机器人模型如图1所 进行转换，即 示.该机器人模型为平面模型，其运动被约束在二 r81=02, 维平面中.该模型为三杆结构，共有四个质点，分 0=01, (3) 别为躯干质点m。、骻关节质点m,和腿部质点m1 03=0. (左右腿各1个).机器人模型的腿及躯干均作为无 式中，上角标“-”表示切换之前的变量，上角标 转动惯量的刚性杆处理。模型参数的具体数值见表1. “+”表示切换之后的变量 这个双腿切换过程可以作为瞬间完全非弹性碰 撞处理，碰撞前的机器人系统与碰撞后的机器人系 统应满足如下的角动量守恒关系：整个机器人系统 对于新的支撑点的角动量守恒：机器人的躯干对于 骻关节的角动量守恒；机器人新的摆动腿对于骻关 节的角动量守恒 这些守恒关系可用方程形式表示为 H(0*)0+=(0）0. (4) 式中，0=(8，日2,0)T.该方程的详细表达式见 附录 机器人在单腿支撑阶段的连续运动与支撑腿切 图1有躯干机器人模型 换阶段的瞬间碰撞，构成了机器人一个完整的步行 Fig.1 Model of a biped robot with a torso 过程. 图1中，Y表示斜面的坡度，机器人的状态参 2被动行走 量0，、02和0均以水平地面的垂直法线方向作参 考，顺时针方向为正.0，为支撑腿角度，02为摆动 本文采用Matlab科学计算软件的Odel13数值 腿角度，0为躯干角度. 积分方法，对机器人的步行运动进行了仿真，精度 为10-8.机器人模型摆动脚着地动作用Odel13的 表1机器人模型参数 Table 1 Parameters of the robot model Event'函数进行检测. m./kg m /kg m/kg 1/m h/m 1/m g/(m's-2) 2.1典型的被动行走 10 10 50.50.50.5 9.81 图2为机器人模型典型单周期步行的一个棍状 示意图.在此行走过程中，斜面坡度为0.05ad,机 机器人完整的一步行走过程，可以分为两个阶 器人的初始状态为(81,02,03,81,02,03)= 段处理：单腿支撑阶段以及支撑腿切换阶段 (-0.19697,0.29697,-0.03792,1.06195, 1.1单腿支撑阶段 0.35413,-0.60450),步行周期为0.718s,步行长 在单腿支撑阶段中，机器人模型的支撑脚着 度为0.489m,但该步行不稳定（步行的稳定性会在 地，摆动腿向前摆动.支撑脚与地面的接触作为光 后文中阐述). 滑铰链结构处理，并且忽略摆动脚与地面的刮蹭。 图3为模型在该步行中，各关节角随时间变化 整个机器人系统的动力学方程可表示为 的曲线.从图4中的闭合曲线可以看出该步行的周 M(0)0+N(0,0)+G(0)=0. (1) 期性. 式中，0=(0,02,03)T.该方程的详细表达式见 虽然机器人躯干是一个倒立摆模型，但其在不

北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 本文首先对机器人的仿真模型及其动力学进行 了介绍; 随后研究了一个典型的纯被动步行，并对 不同的步行方式进行了分析比较; 针对不稳定的步 行方式设计了一个步行稳定器，并给出了仿真结 果; 最后对论文进行了分析总结． 1 机器人模型 本文所研究的有躯干双足机器人模型如图 1 所 示． 该机器人模型为平面模型，其运动被约束在二 维平面中． 该模型为三杆结构，共有四个质点，分 别为躯干质点 mu、骻关节质点 mh 和腿部质点 ml ( 左右腿各 1 个) ． 机器人模型的腿及躯干均作为无 转动惯量的刚性杆处理． 模型参数的具体数值见表1． 图 1 有躯干机器人模型 Fig． 1 Model of a biped robot with a torso 图 1 中，γ 表示斜面的坡度，机器人的状态参 量 θ1、θ2 和 θ3 均以水平地面的垂直法线方向作参 考，顺时针方向为正． θ1 为支撑腿角度，θ2 为摆动 腿角度，θ3 为躯干角度． 表 1 机器人模型参数 Table 1 Parameters of the robot model mu /kg mh /kg ml /kg lu /m lb /m la /m g /( m·s － 2 ) 10 10 5 0. 5 0. 5 0. 5 9. 81 机器人完整的一步行走过程，可以分为两个阶 段处理: 单腿支撑阶段以及支撑腿切换阶段． 1. 1 单腿支撑阶段 在单腿支撑阶段中，机器人模型的支撑脚着 地，摆动腿向前摆动． 支撑脚与地面的接触作为光 滑铰链结构处理，并且忽略摆动脚与地面的刮蹭． 整个机器人系统的动力学方程可表示为 M( θ) θ ·· + N( θ，θ · ) + G( θ) = 0． ( 1) 式中，θ = ( θ1，θ2，θ3 ) T ． 该 方 程 的 详 细 表 达 式 见 附录． 因为模型中无任何驱动器，步行过程中其能量 仅来自于重力势能做功，所以式( 1) 的右端为 0． 1. 2 支撑腿切换阶段 当机器人双腿的状态满足约束 θ1 + θ2 － 2γ = 0 ( 2) 时，机器人的摆动脚着地，支撑腿与摆动腿的角色 进行转换，即 θ + 1 = θ － 2 ， θ + 2 = θ － 1 ， θ + 3 = θ － 3 { . ( 3) 式中，上角标“－ ”表示切换之前的变量，上角标 “+ ”表示切换之后的变量． 这个双腿切换过程可以作为瞬间完全非弹性碰 撞处理，碰撞前的机器人系统与碰撞后的机器人系 统应满足如下的角动量守恒关系: 整个机器人系统 对于新的支撑点的角动量守恒; 机器人的躯干对于 骻关节的角动量守恒; 机器人新的摆动腿对于骻关 节的角动量守恒． 这些守恒关系可用方程形式表示为 Hn ( θ + ) θ · + = Ho ( θ － ) θ · － ． ( 4) 式中，θ · = ( θ · 1，θ · 2，θ · 3 ) T ． 该方程的详细表达式见 附录． 机器人在单腿支撑阶段的连续运动与支撑腿切 换阶段的瞬间碰撞，构成了机器人一个完整的步行 过程． 2 被动行走 本文采用 Matlab 科学计算软件的 Ode113 数值 积分方法，对机器人的步行运动进行了仿真，精度 为 10 － 8 ． 机器人模型摆动脚着地动作用 Ode113 的 ‘Event’函数进行检测． 2. 1 典型的被动行走 图 2 为机器人模型典型单周期步行的一个棍状 示意图． 在此行走过程中，斜面坡度为 0. 05 rad，机 器人的初始状态为 ( θ1，θ2，θ3，θ · 1，θ · 2，θ · 3 ) = ( － 0. 196 97，0. 296 97， － 0. 037 92，1. 061 95， 0. 354 13，－ 0. 604 50) ，步行周期为 0. 718 s，步行长 度为 0. 489 m，但该步行不稳定( 步行的稳定性会在 后文中阐述) ． 图 3 为模型在该步行中，各关节角随时间变化 的曲线． 从图 4 中的闭合曲线可以看出该步行的周 期性． 虽然机器人躯干是一个倒立摆模型，但其在不 ·60·

第1期 冯帅等：有躯干双足机器人被动行走及其稳定器 ·61· 1.6r 随着坡度的增加，长周期步行的周期越来越 长，短周期步行的周期越来越短：而两种步行方式 的步长差别不大（长周期步行的步长略大）.图7的 1.0 纵坐标为步行能量效率指标(cost of transport, 0.8 C0T),是一个量纲为1的指标圆，该值越小说明步 0.6 行越省能 04 0.7 0.2 0.6 ns/ g0.4 0.4 0 0.4 0.8 书 水平距离m 一短周期步行 03 …长周期步行 图2机器人模型行走示意图 0.2-/ Fig.2 Sketch of model walking 0.02 0.040.06 0.08 0.10 斜面坡度rad 受驱动的情况下依旧能够保持基本竖直，原因在于 图5步长随坡度变化的曲线 鹘关节对其的耦合力作用 Fig.5 Curves of step length versus slope 0.4 --0---6—0 0.8 0.2 0.7 一短周期步行 0.2 …长周期步行 0.6 0.4 0.20.40.60.8 1.0 时间s 0.5 0 0.020.040.060.080.10 图3关节角度随时间变化的曲线 斜面坡度d Fig.3 Curves of joint angle versus time 图6周期随坡度变化的曲线 Fig.6 Curves of step period versus slope 0.10 05 0.08 -1.0 5 .08 一短周期步行 -0.0400.04 0.08 0.02 …长周期步行 躯干角度rad 图4躯干运动的相平面轨迹 82 0.4 0.60.8 1.0 1.2 步行速度ms) Fig.4 Trajectory of torso motion in the phaseplane 图7步行能量效率与步行速度的关系曲线 2.2两种步行方式 Fig.7 Curves of COT versus walking speed 本文在同一坡度上，对机器人模型可能有的步 行方式进行了搜索，结果如下. 3稳定性 (1)在同一坡度上，模型可以实现两种不稳定 的步行方式：一种为长周期步行，一种为短周期步 本文中机器人步行的稳定性采用一般的局部线 行.长周期步行中，摆动腿有回收☒的运动，而短 性稳定性.W.因为下节的稳定器设计与该稳定性 的定义关联紧密，为了论文的完整性在此予以 周期中则没有. 说明. (2)没有发现稳定的步行方式 (3)没有发现多周期的步行方式. (1)初始状态x.选取机器人在刚碰撞完以后 逐渐改变坡度的大小，得到了图5~图7. 的状态为步行的初始状态，x=(01,02,03,01,02

第 1 期 冯 帅等: 有躯干双足机器人被动行走及其稳定器 图 2 机器人模型行走示意图 Fig． 2 Sketch of model walking 受驱动的情况下依旧能够保持基本竖直，原因在于 骻关节对其的耦合力作用． 图 3 关节角度随时间变化的曲线 Fig． 3 Curves of joint angle versus time 图 4 躯干运动的相平面轨迹 Fig． 4 Trajectory of torso motion in the phase-plane 2. 2 两种步行方式 本文在同一坡度上，对机器人模型可能有的步 行方式进行了搜索，结果如下． ( 1) 在同一坡度上，模型可以实现两种不稳定 的步行方式: 一种为长周期步行，一种为短周期步 行． 长周期步行中，摆动腿有回收［12］的运动，而短 周期中则没有． ( 2) 没有发现稳定的步行方式． ( 3) 没有发现多周期的步行方式． 逐渐改变坡度的大小，得到了图 5 ～ 图 7. 随着坡度的增加，长周期步行的周期越来越 长，短周期步行的周期越来越短; 而两种步行方式 的步长差别不大( 长周期步行的步长略大) ． 图 7 的 纵坐标为步行能量效率指标 ( cost of transport， COT) ，是一个量纲为 1 的指标［13］，该值越小说明步 行越省能． 图 5 步长随坡度变化的曲线 Fig． 5 Curves of step length versus slope 图 6 周期随坡度变化的曲线 Fig． 6 Curves of step period versus slope 图 7 步行能量效率与步行速度的关系曲线 Fig． 7 Curves of COT versus walking speed 3 稳定性 本文中机器人步行的稳定性采用一般的局部线 性稳定性［7，14］． 因为下节的稳定器设计与该稳定性 的定 义 关 联 紧 密，为了论文的完整性在此予以 说明． ( 1) 初始状态 x． 选取机器人在刚碰撞完以后 的状态为步行的初始状态，x = ( θ1，θ2，θ3，θ · 1，θ · 2， ·61·

·62* 北京科技大学学报 第34卷 )T.即完整的一步首先是单腿支撑阶段，然后是 x'+6x+1=S(x+6x4), 支撑腿切换阶段.x:为第k步的初始状态 r+x+1≈S(x)+aSe (2)跨步函数(step-to-step function)S面，为将 ar Sx r=x 当前步的初始状态映射到下一步初始状态的函数. 忽略高阶误差，有 该函数是一个综合了单腿支撑阶段和支撑腿切换阶 段的多变量非线性函数 6x.=0S(x) (5) ax =t (3)不动点x·,为机器人初始状态集合中的一 为了后文描述的方便，定义稳定性矩阵 点，满足x=S(x).如果以x为机器人的初始 .从式(5) 状态，经过一步以后，机器人还回到此状态，即产 (4)稳定性矩阵A.A=Sx ax x=r 生周期的步行 中可以看出该矩阵实际上是误差的增益矩阵.只要 下面在不动点x附近对跨步函数S进行局部 该矩阵的所有特征值均位于单位圆内，那么误差会 线性化. 逐步缩小，即步行是稳定：而如果有特征值位于单 x'=5(x'), 位圆外，则步行是不稳定的 x=x°+6x4, 在此以2.1节中的典型步行为例，对步行的稳 xE+1=S(x4), 定性予以说明.稳定性矩阵 -2.05156 -0.29636 0.46561 -0.59370 0.02869 0.02852 2.05156 0.29636 -0.46561 0.59370 -0.02869 -0.02852 -39.33376 3.44839 30.50317 -5.81238 0.61162 5.10267 40.36949 -3.73642 -29.47900 6.36739 -0.59743 -4.80759 42.52212 -6.76913 -35.25619 5.28699 -0.55114 -5.95256 -261.69263 24.74250 204.53424-37.62490 3.92876 34.36752 该矩阵的特征值为 因为在纯被动步行中没有任何控制，即=0， =[68.89246,-0.05672±0.64713i,0.14375,0.00898,0], 所以 可见此步行不稳定 8x=A6xk+Buk. (8) 如果控制力矩满足 4 稳定器设计 u=L6x. (9) 在机器人模型的躯干与支撑腿之间添加一个力 式中，L为全状态线性反馈控制率 矩，即动力学方程(1)的右端变为(-u,0,)'.并 那么综合式(8)和式(9)，步行稳定器的设计 假设该力矩在步行周期内保持恒定不变.对跨步函 问题就转化为现代控制理论中设计反馈控制率使得 数进行局部线性化有 离散线性系统稳定的经典问题 x°=S(x,u), 在此以2.1节中的典型步行为例，采用极点配 u4=u+64, 置的方法设计控制器. xr+δxk+1=S(x+6xu+6u)， 设定期望的极点 x+6x+1≈S(x,w)+ p=00.10.20.30.40.5], aS(x,u） x4+aS,| 控制矩阵 ax x=r*,m=n* du r=x*,a=* B=0.01653-0.016530.82701 -0.8367-0.968765.633别T, (6) 求解得到的反馈控制率 式中，u为不动点x对应的控制力矩 L=[-45.031745.179535.86010-6.323600.674106.00108], 上一节中纯被动模型的线性化，可以看成是式 稳定性矩阵 (6)在u=0,δ=0时的特例.定义控制矩阵B, r-1.30740-0.38196-0.1269-0.489200.01755-0.070651 B=iS(x,u) 1.307400.38196 0.12699048920-0.01755 0.07065 ,B主要反映了控制力矩的 du x=r°，M=m -209201-0.835160.84649-0.582690.054130.13971 A'= 变化对误差的影响。 2828110.581600.41630109563-0.035460.19530 忽略高阶无穷小项，线性化式(6)可以表示为 -1.10259-1.75141-0.51654-0.839030.10190-0.13898 8xk+1=Aδx4+B64- (7) -66308-4.59091.44679-L.812270.1111 038143」

北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 θ · 3 ) T ． 即完整的一步首先是单腿支撑阶段，然后是 支撑腿切换阶段． xk 为第 k 步的初始状态． ( 2) 跨步函数( step-to-step function) S ［1］，为将 当前步的初始状态映射到下一步初始状态的函数． 该函数是一个综合了单腿支撑阶段和支撑腿切换阶 段的多变量非线性函数． ( 3) 不动点 x* ，为机器人初始状态集合中的一 点，满足 x* = S( x* ) ． 如果以 x* 为机器人的初始 状态，经过一步以后，机器人还回到此状态，即产 生周期的步行． 下面在不动点 x* 附近对跨步函数 S 进行局部 线性化． x* = S( x* ) ， xk = x* + δxk， xk + 1 = S( xk ) ， x* + δxk + 1 = S( x* + δxk ) ， x* + δxk + 1≈S( x* ) + S( x) x x = x* δxk ． 忽略高阶误差，有 δxk + 1 = S( x) x x = x* δxk ． ( 5) 为了后文描述的方便，定义稳定性矩阵． ( 4) 稳定性矩阵 A． A = S( x) x x = x* ． 从式( 5) 中可以看出该矩阵实际上是误差的增益矩阵． 只要 该矩阵的所有特征值均位于单位圆内，那么误差会 逐步缩小，即步行是稳定; 而如果有特征值位于单 位圆外，则步行是不稳定的． 在此以 2. 1 节中的典型步行为例，对步行的稳 定性予以说明． 稳定性矩阵 A = － 2． 051 56 － 0． 296 36 0． 465 61 － 0． 593 70 0． 028 69 0． 028 52 2． 051 56 0． 296 36 － 0． 465 61 0． 593 70 － 0． 028 69 － 0． 028 52 － 39． 333 76 3． 448 39 30． 503 17 － 5． 812 38 0． 611 62 5． 102 67 40． 369 49 － 3． 736 42 － 29． 479 00 6． 367 39 － 0． 597 43 － 4． 807 59 42． 522 12 － 6． 769 13 － 35． 256 19 5． 286 99 － 0． 551 14 － 5． 952 56 － 261． 692 63 24． 742 50 204． 534 24 － 37． 624 90 3． 928 76 34．                  367 52 ， 该矩阵的特征值为 λ=［68. 89246，－0. 05672 ±0. 64713i，0. 14375，0. 00898，0］， 可见此步行不稳定． 4 稳定器设计 在机器人模型的躯干与支撑腿之间添加一个力 矩，即动力学方程( 1) 的右端变为( － u，0，u) T ． 并 假设该力矩在步行周期内保持恒定不变． 对跨步函 数进行局部线性化有 x* = S( x* ，u* ) ， uk = u* + δuk， x* + δxk + 1 = S( x* + δxk，u* + δuk ) ， x* + δxk + 1≈S( x* ，u* ) + S( x，u) x x = x* ，u = u* δxk + S( x，u) u x = x* ，u = u* δuk ． ( 6) 式中，u* 为不动点 x* 对应的控制力矩． 上一节中纯被动模型的线性化，可以看成是式 ( 6) 在 u* = 0，δu = 0 时的特例． 定义控制矩阵 B， B = S( x，u) u x = x* ，u = u* ，B 主要反映了控制力矩的 变化对误差的影响． 忽略高阶无穷小项，线性化式( 6) 可以表示为 δxk + 1 = Aδxk + Bδuk ． ( 7) 因为在纯被动步行中没有任何控制，即 u* = 0， 所以 δxk + 1 = Aδxk + Buk ． ( 8) 如果控制力矩满足 uk = － Lδxk ． ( 9) 式中，L 为全状态线性反馈控制率． 那么综合式( 8) 和式( 9) ，步行稳定器的设计 问题就转化为现代控制理论中设计反馈控制率使得 离散线性系统稳定的经典问题． 在此以 2. 1 节中的典型步行为例，采用极点配 置的方法设计控制器． 设定期望的极点 pd =［0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5］， 控制矩阵 B =［0. 016 53 －0. 016 53 0. 827 01 －0. 833 67 －0. 968 76 5. 663 32］T ， 求解得到的反馈控制率 L =［－45. 031 74 5. 179 55 35. 860 10 －6. 323 60 0. 674 10 6. 001 08］， 稳定性矩阵 A' = － 1. 307 40 － 0. 381 96 － 0. 126 99 － 0. 489 20 0. 017 55 － 0. 070 65 1. 307 40 0. 381 96 0. 126 99 0. 489 20 － 0. 017 55 0. 070 65 － 2. 092 01 － 0. 835 16 0. 846 49 － 0. 582 69 0. 054 13 0. 139 71 2. 828 11 0. 581 60 0. 416 30 1. 095 63 － 0. 035 46 0. 195 30 － 1. 102 59 － 1. 751 41 － 0. 516 54 － 0. 839 03 0. 101 90 － 0. 138 98 － 6. 663 08 － 4. 590 99 1. 446 79 － 1. 812 27 0. 111 11 0                  . 381 43  ， ·62·

第1期 冯帅等：有躯干双足机器人被动行走及其稳定器 ·63· 真实极点 M1=(m.+m+m)(L+)2+m, p=00.100000.200150.298970.401760.49912]. M2=-m1(l.+,)lcos(01-02), 可见反馈控制器的引入，能够很好地稳定模型 M3=m.(L.+l)l.cos(01-03）, 的步行.示例中真实极点与期望极点的误差来自于 M21=-m1(L2+l)lcos(01-02), 线性化后的系统与原系统的差别. M22=ml6,M23=0, 需要注意的是，因为机器人的初始状态必须满 M31=m.(l.+l4)l.cos(01-03), 足01+02-2y=0,所以式(8)表示的系统不完全可 M2=0,Mg=m, 控，系统必有一不可控的极点，且该极点值为0. N,=-m(L.+l)lsin(01-02)g+m.(L,+ 本文稳定器与文献0]中PD控制器的区别在 于，本文稳定器只是在机器人初始状态出现误差时 l6)l.sin(01-03)8, 才有控制输出，因此对机器人行走产生的影响非常 N2=m(l.+l)lsin(01-02)0, 小，机器人的运动很大程度上是被动的 N3=-m.(l.+s)l.sin(a,-03)g, 5结论 G1=-(mh+m1+m.）(L.+l,）+ml.)gsin81, G2 =m lugsine2,G3=-mlgsine3. 本文研究了有躯干双足机器人的纯被动行走. 式(4)中，各矩阵详细表达式为： 研究发现该机器人模型只存在两种不稳定的步行方 「HH1 式，即没有稳定的步行方式也没有多周期的步行方 H(0*)= H H22 H2s 式。两种不稳定的步行，一种为长周期步行，一种 LHS HH3」 为短周期步行.两者主要区别在于长周期步行有摆 动腿的回收，因此其周期更长.随着机器人模型所 HH2 His] 在坡度的增加，长周期步行的周期越来越长，短周 (0）=H1 Ha H2s 期步行的周期越来越短，而两者的步长均越来越长 LHS H2H33」 且基本相同. 式中， 针对该模型的不稳定步行，本文设计了一个步 =-(m+m1+m,)(.+4)2-m+m1(亿.+ 行稳定器.该稳定器为全状态线性反馈控制器，其 4)lcos(0-02)-m.(l.+l)l.cos(01-0), 输入为机器人初始状态的误差，其输出用以控制躯 H2=ml(l.cos(0-0)-l4+l4cos(0-02*)）, 干与摆动腿之间的力矩，且该力矩在一个步行周期 H=-m.l.(l.+l.cos(0-0)+lcos(0-0)), 内保持恒定.这样就可以把稳定器的设计问题转化 H1=-m.(l.+)l.cos(01-0）, 为现代控制中反馈控制率的设计问题，进而得以解 H2=0,H=-m., 决.本文中给出了一个稳定器设计的示例。结果表 H1=m(1.+l)lcos(0-0), 明：采用此稳定器能够实现模型的稳定被动行走， 并且此稳定器能够很大程度上保证机器人步行的被 H2=-m,H3=0, H1=ml,4-(m+m.）(L,+l)2cos(0- 动性. 02）-2m(l.+l)l.cos(01-02）-m.(l.+ 附录 4)l.cos(0-0）, 本附录详细地介绍了机器人模型的动力学 Hi2 =ml, 方程 Hi3=-ml.(L.+l.cos(02-0)+l4cos(0-0), 式(1)中，各矩阵详细表达式为： H:=-m.(L.+l4)l.cos(0-0）, Mn M12 Mi] H2=0,H3=-m.,H1=m.46, M(0)=M2 M22 M2s, H2=0,H33=0. LM31M2M3g」 参考文献 N(a,0) N, ,G(0)= [1]McGeer T.Passive dynamic walking.Int J Rob Res,1990,9(2): N G 62 式中， MeGeer T.Dynamics and control of bipedal locomotion.J Theor

第 1 期 冯 帅等: 有躯干双足机器人被动行走及其稳定器 真实极点 p =［0 0. 10000 0. 20015 0. 29897 0. 40176 0. 49912］． 可见反馈控制器的引入，能够很好地稳定模型 的步行． 示例中真实极点与期望极点的误差来自于 线性化后的系统与原系统的差别． 需要注意的是，因为机器人的初始状态必须满 足 θ1 + θ2 － 2γ = 0，所以式( 8) 表示的系统不完全可 控，系统必有一不可控的极点，且该极点值为 0. 本文稳定器与文献［10］中 PD 控制器的区别在 于，本文稳定器只是在机器人初始状态出现误差时 才有控制输出，因此对机器人行走产生的影响非常 小，机器人的运动很大程度上是被动的． 5 结论 本文研究了有躯干双足机器人的纯被动行走． 研究发现该机器人模型只存在两种不稳定的步行方 式，即没有稳定的步行方式也没有多周期的步行方 式． 两种不稳定的步行，一种为长周期步行，一种 为短周期步行． 两者主要区别在于长周期步行有摆 动腿的回收，因此其周期更长． 随着机器人模型所 在坡度的增加，长周期步行的周期越来越长，短周 期步行的周期越来越短，而两者的步长均越来越长 且基本相同． 针对该模型的不稳定步行，本文设计了一个步 行稳定器． 该稳定器为全状态线性反馈控制器，其 输入为机器人初始状态的误差，其输出用以控制躯 干与摆动腿之间的力矩，且该力矩在一个步行周期 内保持恒定． 这样就可以把稳定器的设计问题转化 为现代控制中反馈控制率的设计问题，进而得以解 决． 本文中给出了一个稳定器设计的示例． 结果表 明: 采用此稳定器能够实现模型的稳定被动行走， 并且此稳定器能够很大程度上保证机器人步行的被 动性． 附录 本附录详细地 介 绍 了 机 器 人 模 型 的 动 力 学 方程． 式( 1) 中，各矩阵详细表达式为: M( θ) = M11 M12 M13 M21 M22 M23 M31 M32 M          33  ， N( θ，θ · ) = N1 N2 N          3  ，G( θ) = G1 G2 G          3  ． 式中， M11 = ( mu + mh + ml ) ( la + lb ) 2 + ml l 2 a， M12 = － ml ( la + lb ) lb cos ( θ1 － θ2 ) ， M13 = mu ( la + lb ) lu cos ( θ1 － θ3 ) ， M21 = － ml ( la + lb ) lb cos ( θ1 － θ2 ) ， M22 = ml l 2 b， M23 = 0， M31 = mu ( la + lb ) lu cos( θ1 － θ3 ) ， M32 = 0， M33 = mu l 2 u， N1 = － ml ( la + lb ) lb sin ( θ1 － θ2 ) θ ·2 2 + mu ( la + lb ) lu sin ( θ1 － θ3 ) θ ·2 3， N2 = ml ( la + lb ) lb sin ( θ1 － θ2 ) θ ·2 1， N3 = － mu ( la + lb ) lu sin ( θ1 － θ3 ) θ ·2 1， G1 = － ( ( mh + ml + mu ) ( la + lb ) + ml la ) gsin θ1， G2 = ml lb gsinθ2， G3 = － mu lu gsinθ3 ． 式( 4) 中，各矩阵详细表达式为: Hn ( θ + ) = Hn 11 Hn 12 Hn 13 Hn 21 Hn 22 Hn 23 Hn 31 Hn 32 Hn           33 ， Ho ( θ － ) = Ho 11 Ho 12 Ho 13 Ho 21 Ho 22 Ho 23 Ho 31 Ho 32 Ho           33 ， 式中， Hn 11 = － ( mh + ml + mu ) ( la + lb ) 2 － ml l 2 a + ml ( la + lb ) lb cos ( θ + 1 － θ + 2 ) － mu ( la + lb ) lu cos ( θ + 1 － θ + 3 ) ， Hn 12 = ml lb ( la cos ( θ + 1 － θ + 2 ) － lb + lb cos ( θ + 1 － θ + 2 ) ) ， Hn 13 = － mu lu ( lu + la cos ( θ + 1 － θ + 3 ) + lb cos ( θ + 1 － θ + 3 ) ) ， Hn 21 = － mu ( la + lb ) lu cos ( θ + 1 － θ + 3 ) ， Hn 22 = 0， Hn 23 = － mu l 2 u， Hn 31 = ml ( la + lb ) lb cos ( θ + 1 － θ + 2 ) ， Hn 32 = － ml l 2 b， Hn 33 = 0， Ho 11 = ml la lb － ( mh + mu ) ( la + lb ) 2 cos ( θ － 1 － θ － 2 ) － 2ml ( la + lb ) la cos ( θ － 1 － θ － 2 ) － mu ( la + lb ) lu cos ( θ － 1 － θ － 3 ) ， Ho 12 = ml la lb， Ho 13 = － mu lu ( lu + la cos ( θ － 2 － θ － 3 ) + lb cos ( θ － 2 － θ － 3 ) ) ， Ho 21 = － mu ( la + lb ) lu cos ( θ － 1 － θ － 3 ) ， Ho 22 = 0， Ho 23 = － mu l 2 u， Ho 31 = ml la lb， Ho 32 = 0， Ho 33 = 0． 参 考 文 献 ［1］ McGeer T． Passive dynamic walking． Int J Rob Res，1990，9( 2) : 62 ［2］ McGeer T． Dynamics and control of bipedal locomotion． J Theor ·63·

·64· 北京科技大学学报 第34卷 Biol,1993,163(3):277 9]Wisse M,Schwab A L,Van Der Helm F C T.Passive dynamic B]Goswami A,Thuilot B,Espiau B.A study of the passive gait of a walking model with upper body.Robotica,2004,22:681 compass-ike biped robot:symmetry and chaos.Int Rob Res, [10]Haruna M,Ogino M,Hosoda K,et al.Yet another humanoid 1998,17(12):1282 walking-passive dynamic walking with torso under simple con- Hass J,Herrmann J M,Geisel T.Optimal mass distribution for trol//Proceedings of International Conference on Intelligent Robots passivity-based bipedal robots.Int J Rob Res,2006,25 (11): and Systems.Maui,2001:259 1087 [11]Narukawa T,Takahashi M,Yoshida K.Numerical simulations of 5]Byl K,Tedrake R.Metastable walking machines.Int J Rob Res, level-ground walking based on passive walk for planar bipedo- 2009,28(8):1040 bots with torso by hip actuators.J Syst Des Dyn,2008,2 (2): 6]Garcia M,Chatterjee A,Ruina A,et al.The simplest walking 463 model:stability,complexity,and scaling.J Biomech Eng,1998, [12]Hobbelen D G E,Wisse M.Swing-eg retraction for limit cycle 120:281 walkers improves disturbance rejection.IEEE Trans Rob,2008, 7]Goswami A,Espiau B,Keramane A.Limit cycles in a passive 24(2):377 compass gait biped and passivity-mimicking control laws.Auton [13]Collins S,Ruina A,Tedrake R,et al.Efficient bipedal robots Robots,1997,4(3):273 based on passive dynamic walkers.Science,2005,307:1082 [8]Howell G W,Baillieul J.Simple controllable walking mechanisms [14]Goswami A,Espiau B,Keramane A.Limit cycles and their sta- which exhibit bifurcations//Proceedings of IEEE Conference on De- bility in a passive bipedal gait//Proceedings of International Con- cision and Control.Tampa,1998:3027 ference on Robotics and Automation.Minneapolis,1996:246

北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 Biol，1993，163( 3) : 277 ［3］ Goswami A，Thuilot B，Espiau B． A study of the passive gait of a compass-like biped robot: symmetry and chaos． Int J Rob Res， 1998，17( 12) : 1282 ［4］ Hass J，Herrmann J M，Geisel T． Optimal mass distribution for passivity-based bipedal robots． Int J Rob Res，2006，25 ( 11 ) : 1087 ［5］ Byl K，Tedrake R． Metastable walking machines． Int J Rob Res， 2009，28( 8) : 1040 ［6］ Garcia M，Chatterjee A，Ruina A，et al． The simplest walking model: stability，complexity，and scaling． J Biomech Eng，1998， 120: 281 ［7］ Goswami A，Espiau B，Keramane A． Limit cycles in a passive compass gait biped and passivity-mimicking control laws． Auton Robots，1997，4( 3) : 273 ［8］ Howell G W，Baillieul J． Simple controllable walking mechanisms which exhibit bifurcations/ /Proceedings of IEEE Conference on De￾cision and Control． Tampa，1998: 3027 ［9］ Wisse M，Schwab A L，Van Der Helm F C T． Passive dynamic walking model with upper body． Robotica，2004，22: 681 ［10］ Haruna M，Ogino M，Hosoda K，et al． Yet another humanoid walking-passive dynamic walking with torso under simple con￾trol / /Proceedings of International Conference on Intelligent Robots and Systems． Maui，2001: 259 ［11］ Narukawa T，Takahashi M，Yoshida K． Numerical simulations of level-ground walking based on passive walk for planar biped ro￾bots with torso by hip actuators． J Syst Des Dyn，2008，2( 2) : 463 ［12］ Hobbelen D G E，Wisse M． Swing-leg retraction for limit cycle walkers improves disturbance rejection． IEEE Trans Rob，2008， 24( 2) : 377 ［13］ Collins S，Ruina A，Tedrake R，et al． Efficient bipedal robots based on passive dynamic walkers． Science，2005，307: 1082 ［14］ Goswami A，Espiau B，Keramane A． Limit cycles and their sta￾bility in a passive bipedal gait / /Proceedings of International Con￾ference on Robotics and Automation． Minneapolis，1996: 246 ·64·