第十章网络的流 边(，)上的流量（有时也简写作）. 图10-2所示的运输方案，就可看作是图10-1上的一个流，每条边上的第二个数字就 是该边上的运输量，称为流量，即1=3，∫2=1,13=1,14=1，f12=1,24=2, f=1,f3=2,j=2. 图10-2 以图10-2为例，显而易见，在运输网络的实际问题中，对于流有两个要求：一是每边 上的流量不能超过该边的最大通过能力（即边的容量）：二是中间点的流量为零。因为中间 点只起转运作用，进出该点的流量相等所以我们说中间点的流量为零，另外，发点的净流 出量和收点的净流入量必相等，也是这个方案的总运输量，因此有 对于网络G上给出的满足以下条件的一组流称为可行流 1.容量限制条件.对任意边e=(i.)∈E有 0≤f≤c (10.1) 2.中间点平衡条件，对每个中间点（位≠s,)有 (10.2) 若以v(f)表示网络从s→t的流量（流值），则有 ∑-工-{0喜：时 (10.3) 任一网络G,至少存在一个可行流.因为对于所有的边e,定义=0，则∫显然满 足上述两个条件，称为零流。流值()=0。而运输网络的主要问题是要找出它的一个最 大流，即在满足容量限制和中间点平衡的条件下，使流值()达到最大.容量限制条件是 一个不等式，所以最大流问题是一个典型的线性规划问题， 因此，网络流的线性规划模型可以表示为 max 2=v(f) 满足 当i=s时 ∑f-∑fi= 0, 当i≠s,t时 -v(f),当i=t时 0≤f≤j其中()eE2 ✎✑✏✓✒✕✔✓✖✑✗✓✘ s (vi , vj ) ✮ ✍✙✟➹ (❪✖➘✯ ➾✁✚✁✛ fij )✜ ⑥ 10–2 ✝ ➧ ✍✖❾✖❿✖❋✁☎, â✖✓✁✜✛✖✰✖⑥ 10–1 ✮ ✍✖✳✖②✖✛, ➸➷s✖✮✍✖✢✁✢✖②✖✹✖ö✖â ✰￾◆s◆✮✍◆❾◆❿◆➱, ➚✘◆✛◆➱, ý fs1 = 3, fs2 = 1, f13 = 1, f14 = 1, f12 = 1, f24 = 2, f43 = 1, f3t = 2,f4t = 2✜ ⑥ 10–2 ✔ ⑥ 10–2 ✘✖➀, ✣ ✷✖③✁✤, ⑩❾✖❿❲✟✚✠✖✍❯✖❱✑✖✒❲✦, ❂ ✲ ✛✖❪✁✥✖②✖❉✖▲: ✳✰➸ s ✮ ✍☞✛☞➱❏ û✧✦☞♣￾☞s✍✖✩✖➋☞♦✖♣☞û✖ü (ýs ✍☞➆☞➱); ✢✰✦✡➴☞r☞✍☞✛☞➱☞✘✧★☞✜✪✩✖✘✙✦✚➴ r✧✫✧✬☞➫☞❾✛❊ , ✭ ❩ ￾ r☞✍☞✛☞➱✧✮☞ï, ✝✔☞❼☞❽✧✯✙✦✡➴☞r☞✍☞✛☞➱✖✘✧★✖✜✸❖✖P, ✰ r☞✍✧✱☞✛ ❩ ➱✖➇✁✲✖r✖✍✁✱✖✛✖Õ✖➱✁✳✁✮✖ï, ✯ ✰❻②✖❋✁☎✖✍✁✴✖❾✖❿✖➱✖✜✵✩✁✶✖❪: ❂ ✲ ✟✚✠ G ✮➵❩ ✍✁✷✁✸✖✔✁✹➷✁✺✍✖✳✁✻✖✛➚✘✖✓✁✆✖✛: 1. ➆✖➱✁✼✁✽➷✁✺, ❂✁✾✁✿s e = (i, j) ∈ E ❪ 0 ≤ fij ≤ cij (10.1) 2. ✦✚➴✖r✁❀✁❁➷✁✺, ❂✖➸✖②❲✦✚➴✖r vi(i 6= s,t) ❪ X (vi,vj )∈E fij = X (vj ,vi)∈E fji (10.2) ❂✔ v(f) ➦✖➧ ✟✚✠✁❃ s → t ✍✖✛✖➱ (✛✁❄), ✃❪ Xfij − Xfji = ( v(f), ❅ i = s ➘ −v(f), ❅ i = t ➘ (10.3) ✾✖✳❲✟✚✠ G, ❆✁❇✁❈✖⑩✳✖②✖✓✁✆✖✛✖✜✵✩✖✘◆❂✲✝❪✖✍s e, ➍✁☛ fij = 0, ✃ f ✣✁❉✷ ✸ ✮①✥✖②➷✁✺, ➚✘❋❊✁✟✖✜❒✛✁❄ v(f) = 0✜❒✷✖❾✖❿❲✟✚✠✖✍✖➃✖❉✖✑✖✒✰❉✁✂❩ ➂✖✍✖✳✖②✖✩ ➋✖✛, ý⑩✷✁✸✖➆✖➱✁✼✁✽✖➇❲✦✚➴✖r✁❀✁❁✖✍➷✁✺✹ , ● ✛✁❄ v(f) ❍ Ð✖✩✖➋✖✜ ➆✖➱✁✼✁✽➷✁✺✰ ✳✖②❏ï✁■, ✝✔✖✩✖➋✖✛✖✑✖✒✰✳✖②✁❏✖✌✖✍✻✖✼✖✽✖✾✑✖✒✖✜ ✩✁✶, ✟✚✠✖✛✖✍✻✖✼✖✽✖✾☛✖✌✖✓✖✔ ➦✖➧✘ max z = v(f) ✷✁✸    Pfij − Pfji =    v(f), ❅ i = s ➘ 0, ❅ i 6= s,t ➘ −v(f), ❅ i = t ➘ 0 ≤ fij ≤ ci,j , ❵❲✦(vi , vj ) ∈ E