2之a內、1 ∑=2立不可与均为对称常系数,4=4=b 拉格朗日方程为:∑(anx,+b2x)=0.1=12试解为x=Asim(+a)1=12 把试解代入方程,得∑(,-a102)A1=0.1=12 久期方程deb-ano)=0,f(o3)=(21-a1o)2-a2o2)-(h2-a2o2)=0 即(o3)=(1a2-a2b-(a1b2+a2b1-2a2b202+(b2-b2)=0 平衡位置x1=0是稳定的,必有V(x2≠0)>(0)=0 b1>0,b2>0,b1b2-b2>0(推导方法参阅174页前半或176页末) 相仿,由动能的非负性可以得出a1>0,a2>0,a1a2-a2>0从而 f(o2=0)=b1b2-b2>0f(32→+2)(1a2-an2 又易看出,当o32=bh1/a1>0或O2=b21{a2>0,有∫=(b2-a202)<0 则曲线/(o2)和o32的正半轴相交两次,即o32有两个不相等的正实根o12和o2 A0-a12-b 从而得到两个试解的振幅之比A0b2a2 ao. =A 方程的两组解x0=4sm(ont+a) x2)=A12sin(21+a2) sin(o,(+a,)x2=u2 2)A, 2)sin(@ 2- t+a)) 由线性方程解的可叠加性x,=C1x+C2x12),=12即 x,=A sin(o t+a+A sin(@2 t+a2) x2=2!4sin(o11+a1)+2)A12)sin(O2t+a2) 注意:常数CC2已经吸收进常数振幅中去了。常数2,m2),o1,O2由本征值问题决 定。四个积分常数A1),A12),a1a2由初条件确定。∑= = 2 2 1, 1 ji jiij xxaT  ∑= = 2 2 1, 1 ji jiij xxbV ,ba ijij 均为对称常系数。 == bbaa jiijjiij , 拉格朗日方程为; ( ) 2,1,0 试解为 2 1 ∑ ==+ = ixbxa j jijjij  = sin( ⋅ ) itAx =+ 2,1, ii ω α 把试解代入方程，得 ( ) 2,1,0 2 1 2 ∑ ==− = iAab j ω jijij 久期方程det( ) 0 2 ab ijij ω =− ， )( ( )( )( ) 0 2 2 1212 2 2222 2 1111 2 ω −= ω ω abababf ω =−−− 即 )( = 2 f ω ( ) ( 2 ) ( ) 0 2 122211 2 11222211 1212 2 4 122211 ω −+−− ω bbbbababaaaa =−+ 平衡位置 是稳定的，必有 xi = 0 ≠ >VxV = 0)0()0( i ,0,0 0 2 ∴ 11 22 bbbbb 122211 >−>> （推导方法参阅 174 页前半或 176 页末） 相仿，由动能的非负性可以得出 ,0,0 0 从而 2 11 22 aaaaa 122211 >−>> )0( )(,0 ( ) 0 2 4 122211 2 2 122211 2 f ω >−== fbbb ω aaa ω >−≈+∞→ 又易看出，当 1111 0/ 或 ，有 2 ω ab >= 0/ 2222 2 ω ab >= ( ) 0 2 2 abf 1212 ω <−−= 则曲线 ( ) 2 f ω 和 的正半轴相交两次，即 有两个不相等的正实根 和 2 ω 2 ω 2 ω1 2 ω 2 从而得到两个试解的振幅之比 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 11212 11 2 111 1 1 1 2 μ ω ω = − − = ab ba A A ( ) ( ) ( ) 2 2 2 21212 11 2 211 2 1 2 2 μ ω ω = − − = ab ba A A 方程的两组解 ⎩ ⎨ ⎧ = +⋅ = +⋅ sin( ) sin( ) 1 1 )1( 1 )1( 2 )1( 2 1 1 )1( 1 )1( 1 μ αω αω x tA tAx ⎩ ⎨ ⎧ = +⋅ = +⋅ sin( ) sin( ) 2 2 )2( 1 )2( 2 )2( 2 2 2 )2( 1 )2( 1 μ αω αω x A t Ax t 由线性方程解的可叠加性 2,1, 即 )2( 2 )1( 1 ii i ixCxCx =+= ⎩ ⎨ ⎧ = ′ ++⋅ ′ +⋅ = ′ ++⋅ ′ +⋅ sin( ) sin( ) sin( sin() ) 2 2 )2( 1 )2( 1 21 )1( 1 )1( 22 2 2 )2( 1 11 )1( 11 μ μαω αω αω αω tAx A t AtAx t 注意：常数 已经吸收进常数振幅中去了。常数 由本征值问题决 定。四个积分常数 由初条件确定。 21,CC 21 )2( 2 )1( 2 ,,, ωωμμ 21 )2( 1 )1( 1 AA ′′ ,,, αα 3