在这里出现量子数m∈Z(Z代表整数集)的数学原因是:p代表了圆周S上的点,而v(a)是 S→Sl的连续映射,由于S!是拓扑非平凡的,它的第一同伦群就是Z,所以m在本质上是一个拓扑量 子数。在数学上,这个拓扑特征数称为绕数( winding number) 3.L的本征值和本征函数 L2的本征函数是(,)的函数,记为Y(O,),本征值记为Ah2,则本征方程是 LY=h-Y 即是 sIngde sine oy 1 a2y o6丿sin2ao =-AY(6,g) 我们要求Y(O,q)同时是L的本征函数,这个要求等价于求上述方程的分离变量的解,也就是设 Y(0,)=P(0)enp, 因而P(0)满足: 1 d sin sin e de( 2nP()=-P( 通常引入 W=cos6,w∈[-1,+1] 则方程成为 2, dP P(v)=0 这个方程称为缔合(又称连带) Legendre方程。W=±l是这个方程的“奇点”,这意思是说,除非λ取 某些特定值,方程的解将在W=±1处变成无穷大。λ的这些允许值是: A=(+1),l=|m,m|+ 我们把对应的解记为P"(w),所以P"(w)满足方程 )-+|l(+1) P"(v)=0. 特别是,当m=0时,P()=Pm()满足: dhv +l(+1)f()=0 这个方程称为 Legendre方程,它的解P(w)是v的/阶多项式,称为 Legendre多项式,定义为 P() 2 7 du 而P(w)称为缔合 Legendre函数,定义为 P(w)=(1-y2)m 27l d ul+m 这样,本征函数最后成为: Ym(,p=NmP(cose)e, 其中本征值l,m的取值范围是 =0,1,2 l,-1 Nm是归一化常数,使得 Yim(e, o)Ym(0, p )dQ2=1.(dQ2=sin dedo 结果是2 在这里出现量子数 m ( 代表整数集) 的数学原因是：  代表了圆周 1 S 上的点，而  ( ) 是 1 1 S S → 的连续映射，由于 1 S 是拓扑非平凡的，它的第一同伦群就是 ，所以 m 在本质上是一个拓扑量 子数。在数学上，这个拓扑特征数称为绕数 (winding number)。 3. 2 L 的本征值和本征函数 2 L 的本征函数是 (,) 的函数，记为 Y ( ,) ，本征值记为 2  ，则本征方程是 2 2 L Y Y =  , 即是 2 2 2 1 1 sin ( , ). sin sin Y Y     Y           + = −        我们要求 Y ( , )   同时是 Lz ˆ 的本征函数，这个要求等价于求上述方程的分离变量的解，也就是设 i ( , ) ( )e , m Y P     = 因而 P( ) 满足： 2 2 1 sin ( ) ( ). sin sin d dP m P P d d           − = −     通常引入 w w =  − + cos , [ 1, 1],  则方程成为： 2 2 2 (1 ) ( ) 0. 1 d dP m w P w dw dw w      − + − =         − 这个方程称为缔合（又称连带）Legendre 方程。 w = 1 是这个方程的“奇点”，这意思是说，除非  取 某些特定值，方程的解将在 w = 1 处变成无穷大。  的这些允许值是：  = + = + l l l m m ( 1), , 1, 我们把对应的解记为 P (w) m l ，所以 P (w) m l 满足方程 2 2 2 (1 ) ( 1) ( ) 0. 1 m l m l d m dP w l l P w dw dw w       − + + − =       − 特别是，当 m = 0 时， ( ) ( ) 0 P w P w m l l =  满足： 2 (1 ) ( 1) ( ) 0. l l d dP w l l P w dw dw   − + + =     这个方程称为 Legendre 方程，它的解 P (w) l 是 w 的 l 阶多项式，称为 Legendre 多项式，定义为 ( 1) . 2 ! 1 ( ) 2 l l l l l w dw d l P w = − 而 P (w) m l 称为缔合 Legendre 函数，定义为 1 2 / 2 2 ( ) (1 ) ( 1) . 2 ! l m m m l l l l m d P w w w l dw + + = − − 这样，本征函数最后成为： i ( , ) (cos )e , m m Y N P lm lm l     = 其中本征值 l,m 的取值范围是： l m l l l = = − − 0,1, 2 , , 1, , . Nlm 是归一化常数，使得 ( , ) ( , ) 1. ( sin ) Y Y d d d d lm lm          =  =  结果是：