§34角动量算符的本征值和本征态 1.角动量算符的球坐标表示 角动量算符的定义是 p=-ihF×V 即是 Lx=-ih(0:-0,),Ly=-ih(=ox-x02),L2=-ih(x,-y0x 此外我们还引入 L2=L2=L2+12+L2 它们满足的对易关系是 [Lr, L,]=ihL, [Ly, L]=ihLy, [L, L]=ihl 以及 ,1=[2,2]=E,E]=0 所以,这些算符的的完备集是2以及L,L之中的某一个,通常选为L。我们的任务是求解2和 L的同时本征方程(注意这和动量算符的情况完全不同)。 为了解这些本征方程,更方便的是从直角坐标(x,y,z)转入球坐标(r,O,): x=rsn 6 cos, y=rsn Osn ==rcos8 其中 r∈[0,∞),b∈[0,x],φ∈[0,2x), 那么, ih L2 sine sing a0 0\+2000 注意:它们与厂无关。Lx和L,的表达式见后面的§82。 2.L.的本征值和本征函数 记L的本征值为mh,本征函数为vn(q),则本征方程是: L- Um =mhy 即是 dym=imm(o) de 所以 由波函数的单值性,必须有: Vn(+2x)=vn(9) 所以 0,±1,±2 归一化是 Jo lym() do=1, 所以 √2 这些本征函数可以用于求解平面转子问题。1 §3.4 角动量算符的本征值和本征态 1. 角动量算符的球坐标表示 角动量算符的定义是： ˆ ˆ ˆ L r p r =  = −   i , 即是 ˆ ˆ ˆ i ( ), i ( ), i ( ). L y z L z x L x y x z y y x z z y x = −  −  = −  −  = −  −  此外我们还引入 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ . L L L L L  = + + x y z 它们满足的对易关系是 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ , ] i , [ , ] i , [ , ] i L L L L L L L L L x y z y z x z x y = = = , 以及 2 2 2 ˆ ˆ ˆ [ , ] [ , ] [ , ] 0. L L L L L L x y z = = = 所以，这些算符的的完备集是 2 L 以及 ˆ ˆ ˆ , , L L L x y z 之中的某一个，通常选为 ˆ Lz 。我们的任务是求解 2 L 和 ˆ Lz 的同时本征方程（注意这和动量算符的情况完全不同）。 为了解这些本征方程，更方便的是从直角坐标 ( , , ) x y z 转入球坐标 ( , , ) r   ： x = rsin  cos, y = rsin  sin, z = r cos, 其中 r     [0, ), [0, ], [0, 2 ),     那么， i , ˆ   Lz = −  2 2 2 2 2 1 1 sin . sin sin L              = − +            注意：它们与 r 无关。 ˆ Lx 和 ˆ Ly 的表达式见后面的§8.2。 2. Lz ˆ 的本征值和本征函数 记 Lz ˆ 的本征值为 m ，本征函数为  () m ，则本征方程是： , ˆ Lz m = m m 即是： i  (),   m m m d d = 所以， i ( ) e , m m C    = 由波函数的单值性，必须有：  ( 2 )  (), m + = m 所以 m = 0,1, 2,  归一化是： 2 2 0 ( ) 1, m d     =  所以 1 . 2 C  = 这些本征函数可以用于求解平面转子问题