2)由定理1知4-4=123=6.mA=∑a=∑=1+2+36 52相似矩阵 知识点:相似矩阵的概念与性质,矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件。 定义2(相似矩阵)对于n阶方阵A,B,若存在可逆阵P,使P-AP=B,则称A相 似于B,记作A~B.(P称为相似变换矩阵) 三条性质 i)A~A.(自反性) ⅱ)若A~B,则B~A.(对称性) ⅲi)若A~B,B~C,则A~C.(传递性) 例5若A~B,则r(A)=r(B) 证明若A~B,则PAP=B.因为P可逆,故P=PP…P。于是有 P1…P2PAPP2…P=B表明A与B等价。故r(A)=r(B) 例6(可作为习题证明:若A~B,则 (i)A-B (i)(A)~(B),((4)是A的多项式) 证明由A~B,成立P-AP=B.故 (i)Bk=P-AP,即A~B (ⅱ)设9(4)=anm+an1m-+a1A+a0,有 p(B)=a B Bm-+∴+a,B =P-(a,A"+amA-+a,A+aoI)P=P-(A)P, EpP(A)-(B)81 ２）由定理 1 知 A = 1 2 3 6 3 1  =   = i= i . trA== n i ii a 1 == 3 i 1 i =1+2+3=6. 5.2 相似矩阵 知识点：相似矩阵的概念与性质，矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件。 定义 2 （相似矩阵）对于 n 阶方阵 A, B ，若存在可逆阵 P ，使 P AP = B −1 ，则称 A 相 似于 B ，记作 A ～ B .（ P 称为相似变换矩阵） 三条性质： ⅰ） A ～ A .（自反性） ⅱ）若 A ～ B ，则 B ～ A .（对称性） ⅲ）若 A ～ B ， B ～C ，则 A ～C .（传递性） 例 5 若 A ～ B ，则 r(A) = r(B). 证 明 若 A ～ B ， 则 P AP = B −1 . 因 为 P 可逆，故 P = P1P2 Ps 。于是有 Ps P P AP P Ps = B −1  2 −1 1 −1 1 2  .表明 A 与 B 等价。故 r(A) = r(B). ■ 例 6 (可作为习题)证明：若 A ～ B ，则 （ⅰ） k A ～ k B ； （ⅱ） (A) ～(B) ，（ () 是  的多项式） 证明 由 A ～ B ，成立 P AP = B −1 . 故 （ⅰ） k B = P A P −1 k , 即 k A ～ k B . （ⅱ）设 () = 1 0 1 a a 1 a a m m m m + + + −  −   ，有 (B) = a B a B a B a I m m m m 1 0 1 + 1 + + + − −  = P a A a A a A a I m m m m 1 0 1 1 1 ( + + + − − −  )P = P (A)P 1 − , 即 (A) ～(B)