定理4若A~B,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值也相同 证明由A~B,使PAP=B.故 1-=|pmP-PAP=p(-A)P|=|P-1|-4|P=|-4■ 推论4a若n阶方阵A~A=dag4},则A1,2…n为A的所有n个特征值。 证明因为对角矩阵的特征值即为对角元素 推论4b若A~B,则mA=mB4=|B.(由定理1即得) 若A相似于对角阵A= ,则P-AP=A,即A=PAP-1.于是 =PAP-1.类似可得o(4)=Po(A)P-(参见例5的证明过程).并易得 qp(1) (A)= qp(2) (n) 这样就可以比较简便地计算出A4和q(A)了。(具体例子作为习题 定理5n阶方阵A相似于对角阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。 证明必要性.存在P,使PAP=A=dig{4}:其中1,A2,…,n为A的n个特征 值。上式可写成AP=PA。记P=(mn,n2,…,mn),则成立 An=an 即7是A的特征向量。因为P可逆,故n2,72,…,n线性无关 充分性.若A有n个线性无关的特征向量n1,2…,n满足A7=n,记 ,n) A=diag,) 由必要性证明的推导过程倒推上去,即可得A相似于对角阵82 定理 4 若 A ～ B ，则 A 与 B 的特征多项式相同，从而 A 与 B 的特征值也相同。 证明 由 A ～ B , 使 P AP = B −1 . 故 I − B = P IP − P AP = P I − A P = P I − A P = I − A − − − −      1 1 1 1 ( ) . ■ 推论 4.a 若 n 阶方阵 A ～  = { } diag i ，则   n , , , 1 2  为 A 的所有 n 个特征值。 证明 因为对角矩阵的特征值即为对角元素。■ 推论 4.b 若 A ～ B ，则 trA = trB, A = B . (由定理 1 即得). ■ 若 A 相似于对角阵  =               n    2 1 ，则 =  − P AP 1 ，即 −1 A = PP . 于是 k A = −1 P P k . 类似可得 1 ( ) ( ) −  A = P  P （参见例 5 的证明过程）. 并易得 , 2 1                = k n k k k                    = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1  n       这样就可以比较简便地计算出 k A 和 (A) 了。（具体例子作为习题） 定理 5 n 阶方阵 A 相似于对角阵的充要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量。 证明 必要性. 存在 P ，使 =  − P AP 1 = { } diag i ；其中   n , , , 1 2  为 A 的 n 个特征 值。上式可写成 AP = P 。记 P = ( )   n , , , 1 2  , 则成立 Ai = ii ， 即 i 是 i 的特征向量。因为 P 可逆，故   n , , , 1 2  线性无关。 充分性. 若 A 有 n 个线性无关的特征向量   n , , , 1 2  满足 Ai = ii ，记 P = ( )   n , , , 1 2  ，  = { } diag i , 由必要性证明的推导过程倒推上去，即可得 A 相似于对角阵。 ■