厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: dpko. xmu.edu. cn 第八章欧氏空间 §8.3对称变换,对称矩阵 首先讨论欧氏空间的线性变换在不同的标准正交基下的矩阵的联系 设51,2,…,5n和m,m2,…·,mn是n维欧氏空间v的标准正交基,从基m,m2,…,mhn到1,52,…,5n 的过渡矩阵为正交矩阵Q,即 设p是V的线性变换,φ在两个标准正交基下的矩阵分别是A,B,即 g(m,m2,…,mn)=(m1,n2 g(51,52,…,5n)=(51,2,…,n)B, 有B 定义8.3.1设A,B是武上n阶方阵,如果存在正交矩阵Q,使得 B=Q AQ=Q AQ, 则称A正交相似于B. 从上面的分析直接得到如下定理 定理8.3.1R上两个n阶方阵A,B正交相似的充分必要条件是它们为欧氏空间v上同一个线性变换 在不同的标准正交基下的矩阵 Rnxn上的正交相似关系满足 (1)反身性,即A正交相似于A (2)对称性,即若A正交相似于B,则B正交相似于A (3)传递性,即若A正交相似于B,B正交相似于C,则A正交相似于C 对于欧氏空间的线性变换,重要的任务是寻找正交相似下的标准形.下面讨论一类特殊的但重要的对称 变 定义8.32设φ是欧氏空间v上的线性变换,如果满足对于任意的a,B∈V,都有 (y(a),B)=(a,y(6) 则称φ是对称变换 定理8.3.2设φ是n维欧氏空间Ⅴ的线性变换,则下列条件等价: )φ是对称变换; (2)存在V的一个标准正交基51,52,…,5n,有使得(y(5),5)=(,φ(5)(i,j=1,2,…,m)#j.1# L F IP $Q 59.77.1.116; An gdjpkc.xmu.edu.cn nkv tusq §8.3 omlp
omrw $gpXG"&,>D" TKJ""SI"_! ￾ ξ1, ξ2, · · · , ξn : η1, η2, · · · , ηn  n pXG V " TKJ￾ η1, η2, · · · , ηn ξ1, ξ2, · · · , ξn "9(SIKJSI Q, B (ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (η1, η2, · · · , ηn)Q. ￾ ϕ  V "&,>￾ ϕ D`2 TKJ""SI0  A, B, B ϕ(η1, η2, · · · , ηn) = (η1, η2, · · · , ηn)A, ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)B, E< B = Q−1AQ = QT AQ. \h 8.3.1 ￾ A, B  R  n N.I￾|8DKJSI Q, ! B = Q −1AQ = Q T AQ, E Ai_gd > B. l"0 OM! |"&\ \a 8.3.1 R `2 n N.I A, B KJ'"02HkpXG V 42&,> D" TKJ""SI R n×n "KJ'6!hV (1) -
,￾B A KJ'> A; (2) ),￾B} A KJ'> B, E B KJ'> A; (3) %,￾B} A KJ'> B, B KJ'> C, E A KJ'> C. )>pXG"&,>￾S2"{/GKJ'"" T*"lg4[ "S2") > \h 8.3.2 ￾ ϕ pXG V "&,>￾|8hV)>{7" α, β ∈ V , '< (ϕ(α), β) = (α, ϕ(β)), E ϕ  ℄[Z^. \a 8.3.2 ￾ ϕ  n pXG V "&,>￾E"bH#F (1) ϕ )> (2) D V "42 TKJ ξ1, ξ2, · · · , ξn, <! (ϕ(ξi), ξj ) = (ξi , ϕ(ξj ))(i, j = 1, 2, · · · , n); 1