(3)在V的一个标准正交基下的矩阵是对称阵 证明(1)→(2)显然 (2)→(3)设51,52,…,5n为V的一个标准正交基,则 y(51,52,…,5n)=(51,52,…,5n)A, 记A=(a1)nxn,则 (51),5)=(a1i51+a2252+…+ann,5)=ani (52,2(5)=(51,a151+a22+…+an5n,5)=a 所以a=an(i,j=1,2,……,n),即A=A (3)→(2)设51,52,…,En为V的一个标准正交基 其中A=A.则 (y(1),5)=(a151+a22+……+an5n,51)=ai, (52,2(51)=(51,a151+a22+…+an/5n,5)=a1 所以((51),5)=(51,(51)(,j=1,2,……,m) (2)→(1)对于V的标准正交基51,52,…,5n,任取a,B∈V,a=a151+a252+…+an5n, B=b151+b252+…+bn5n,所以 ((a),B)=(a19(51)+a2y(52)+…+any(5n),b151+b252+……+bn5n) k=1∑1=1akbn(y(5k),51) 1∑B=1akb(5k,y(5) (a151+a22+…+ann,b1y(51)+b2(52)+…+bny(5n) (a,g(6) 从证明的过程中我们看到,在取定欧氏空间的一个标准正交基的前提下,对称变换和实对称矩阵是一一 对应的.下面讨论对称变换或对称矩阵在正交相似下的标准形 定理8.3.3设A是实对称阵,则A的特征值全为实数且属于不同特征值的特征向量在Rn中相互正 交 证明设 AX=AX 其中A∈C,X=(x1,x2,…,xn)≠0∈Cm.则从AX=X得到AX=AX,所以 X AX 另一方面,从X7A=AXT得到 XTAX=AXX 故有 AXTX=AXTX(3) ϕ D V "42 TKJ""SI)I j (1) ⇒ (2) %z (2) ⇒ (3) ￾ ξ1, ξ2, · · · , ξn  V "42 TKJ￾E ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)A, D A = (aij )n×n, E (ϕ(ξi), ξj ) = (a1iξ1 + a2iξ2 + · · · + aniξn, ξj ) = aji, (ξi , ϕ(ξj )) = (ξi , a1j ξ1 + a2j ξ2 + · · · + anj ξn, ξj ) = aij , 6 aij = aji(i, j = 1, 2, · · · , n), B A = AT . (3) ⇒ (2) ￾ ξ1, ξ2, · · · , ξn  V "42 TKJ￾ ϕ(ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (ξ1, ξ2, · · · , ξn)A, rR AT = A. E (ϕ(ξi), ξj ) = (a1iξ1 + a2iξ2 + · · · + aniξn, ξj ) = aji, (ξi , ϕ(ξj )) = (ξi , a1j ξ1 + a2j ξ2 + · · · + anj ξn, ξj ) = aij , 6 (ϕ(ξi), ξj ) = (ξi , ϕ(ξj ))(i, j = 1, 2, · · · , n). (2) ⇒ (1) )> V " TKJ ξ1, ξ2, · · · , ξn, {x α, β ∈ V , α = a1ξ1 + a2ξ2 + · · · + anξn, β = b1ξ1 + b2ξ2 + · · · + bnξn, 6 (ϕ(α), β) = (a1ϕ(ξ1) + a2ϕ(ξ2) + · · · + anϕ(ξn), b1ξ1 + b2ξ2 + · · · + bnξn) = Pn k=1 Pn l=1 akbl(ϕ(ξk), ξl) = Pn k=1 Pn l=1 akbl(ξk, ϕ(ξl)) = (a1ξ1 + a2ξ2 + · · · + anξn, b1ϕ(ξ1) + b2ϕ(ξ2) + · · · + bnϕ(ξn)) = (α, ϕ(β)) . ✷ Lm"9RkU ￾Dx&pXG"42 TKJ"u"￾)>:)SI44 )9""lg)>?)SIDKJ'"" T* \a 8.3.3 ￾ A )I￾E A "JPy v>JP"J)aD R n R';K J j ￾ AX = λX, rR λ ∈ C, X = (x1, x2, · · · , xn) T 6= 0 ∈ C n. E AX = λX ! AX = λX, 6 X T AX = λXT X. d4.l￾ XT A = λXT ! X T AX = λXT X. 5< λXT X = λXT X. 2