因为X≠0,所以XX>0.这样X=A即A∈R 设A,是A的两个不同特征值,X,Y分别是属于λ,p的特征向量,即AX=XX,AY=pY.这 AX Y=X AY=uX Y 而入≠,于是XTY=0,即(X,Y)=0 定理8.34设A是R上n阶对称矩阵则存在正交阵T,使得T-14T=TAT为对角阵,对角 线元素为A的特征值 证明对A的阶数n作数学归纳法,当n=1时,结论显然成立.假设结论对n-1阶的对称矩阵成 立.考虑n阶对称阵A.由定理8.3.3,知A必有实特征值λ1和相应的特征向量X1,将X1单位化还记 成X1,并将X1扩为的标准正交基X1,X2,…,Xn.则 A(X 0A1 令Q1=(X1,X2,……,Xn)则Q1为正交阵,且 又因为AT=A,所以 A1 10 故a=0,A1=A1.根据归纳假设,存在正交阵Q2,使得 Q22 A1Q2=diag(A2, .. An) 令Q=Q1(10 则Q为正交阵,且有 Q-AQ=diag(A1, A2, 定理8.3.3和定理33.4用线性变换的语言来说,就是下面的结论 )设φ是n维欧氏空间V的对称变换,则φ的特征值全为实数,且属于不同特征值的特征向量相 互正交 (2)设φ是n维欧氏空间V上的对称变换,则存在V的一个标准正交基,使得φ在这个基下的矩阵 是对角阵,且这组基恰为φ的n个线性无关的特征向量 例1求正交矩阵Q,使QAQ为对角阵,其中 解 detE-A)=-2x-54|=(x-1)(-108 X 6= 0, 6 XT X > 0. H1 λ = λ, B λ ∈ R. ￾ λ, µ  A "`2JP￾ X, Y 0 > λ, µ "J)a￾B AX = λX, AY = µY . H 1 λXT Y = X T AY = µXT Y. + λ 6= µ, > XT Y = 0, B (X, Y ) = 0. ✷ \a 8.3.4 ￾ A  R  n N)SIEDKJI T , ! T −1AT = T TAT )KI￾)K &B A "JP j ) A "N n Y .7o, n = 1 ￾Pg%z^E￾Pg) n − 1 N")SI ^Vf n N)I A. ;&\ 8.3.3, M A <JP λ1 :'9"J)a X1, I X1 <=D  X1, I X1 Y R n " TKJ X1, X2, · · · , Xn. E A(X1, X2, · · · , Xn) = (X1, X2, · · · , Xn)  λ1 α T 0 A1  . e Q1 = (X1, X2, · · · , Xn), E Q1 KJI￾v Q T 1 AQ1 = Q −1 1 AQ1 =  λ1 α T 0 A1  , =8 AT = A, 6  λ1 α T 0 A1  =  λ1 0 α AT 1  . 5 α = 0, A1 = AT 1 . 4T7oE￾￾DKJI Q2, ! Q −1 2 A1Q2 = diag(λ2, · · · , λn). e Q = Q1  1 0 0 Q2  , E Q KJI￾v< Q −1AQ = diag(λ1, λ2, · · · , λn). ✷ &\ 8.3.3 :&\ 3.3.4 :&,>"0ZÆ￾R"l"Pg (1) ￾ ϕ  n pXG V ")>￾E ϕ "JPy ￾v>JP"J)a' ;KJ (2) ￾ ϕ  n pXG V ")>￾ED V "42 TKJ￾! ϕ DH2""SI )KI￾vHWt ϕ " n 2&,6"J)a b 1 wKJSI Q,  QTAQ )KI￾rR A =   2 2 −2 2 5 −4 −2 −4 5   . ` det(λE − A) =       λ − 2 −2 2 −2 λ − 5 4 2 4 λ − 5       = (λ − 1)2 (λ − 10), 3