因此A下特征值是A1=1,A2=1,A3=10. 向A=10,求解齐次线性学程组(10E-A)X=0,得到语础解系 51=( 向入=1,求解齐次线性学程组(E-A)X=0,得到语础解系(0,1,1)与(2,-1.0),正征有设再 单位有设得 52=(0 √n8√18√ 因此 0-(1实 则 1000 Q AQ 010 001 同例子组以看出有实向称阵A为向正有下学性时 (1)计算A下特征多项式det(AE-A),求出所有一设是在卫中实 (2)向每个不同下特征值λ,解线性学程组(AE-A)X=0,得到特征子空间下一个语逝行 Schmidt 正征有设单位有设得到特征子空间下一个标准正征语实 (3)阵不同特征子空间下标准正征语凑素R下标准正征语m1,72,…,m,令Q=(7, Q1AQ为向正矩阵设向正元素言别是向应于m1,2,…,7n下全数特征值A1,A2,…,A 我们用解个例子来值束本节 例2设A是3阶实向称矩阵设A下特征值为2,1,1.已知属于特征值2下特征向理X1=(1,1,0) 又向理X2=(1,-1,0)是属于特征值1下特征向理设求矩阵A 解由线定8.3.3知A有一个属于特征值1下特征向理与X1,X2相正征.设之为X3=(x1,x2,x3)2 得 1-x2=0 解得X3=(0,0,1).阵X1,X2,X3单位有设得 ,0),y3=(0 在8 A "JP λ1 = 1, λ2 = 1, λ3 = 10. ) λ = 10, wQs&,.W (10E − A)X = 0, ! Q! ξ1 = (− 1 3 , − 2 3 , 2 3 ) T . ) λ = 1, wQs&,.W (E − A)X = 0, ! Q! (0, 1, 1)T ? (2, −1, 0)T , KJ<￾C <￾! ξ2 = (0, 1 √ 2 , 1 √ 2 ) T , ξ3 = ( 4 √ 18 , − 1 √ 18 , 1 √ 18 ) T . 8 Q =   − 1 3 0 √ 4 18 −2 3 √ 1 2 − √ 1 18 2 3 √ 1 2 √ 1 18   , E Q T AQ =   10 0 0 0 1 0 0 0 1   . ℄UW6U<)I A )K<"., (1) C A "J*( det(λE − A), w<4￾D R R (2) )i2"JP λi , Q&,.W (λE −A)X = 0, ! JUXG"42￾+ Schmidt KJ<￾<￾! JUXG"42 TKJ (3) IJUXG" TKJ R n " TKJ γ1, γ2, · · · , γn, e Q = (γ1, γ2, · · · , γn), E Q−1AQ )KSI￾)KB0 )9> γ1, γ2, · · · , γn "y JP λ1, λ2, · · · , λn. k:`2℄UZPO b 2 ￾ A  3 N)SI￾ A "JP 2, 1, 1. 5M>JP 2 "J)a X1 = (1, 1, 0)T , =)a X2 = (1, −1, 0)T >JP 1 "J)a￾wSI A. ` ;&\ 8.3.3 M A <42>JP 1 "J)a? X1, X2 'KJ￾N X3 = (x1, x2, x3) T , !  x1 + x2 = 0 x1 − x2 = 0 Q! X3 = (0, 0, 1)T . I X1, X2, X3 <￾! Y1 = ( 1 √ 2 , 1 √ 2 , 0)T , Y2 = ( 1 √ 2 , − 1 √ 2 , 0)T , Y3 = (0, 0, 1)T . D Q = (Y1, Y2, Y3) =   √ 1 2 √ 1 2 0 √ 1 2 − √ 1 2 0 0 0 1   , 4