(d)不成立,考察向量F, (n(n((k)=n((n(7)=0(7(7)=01(-)=了 (G(k)=07(-k)=k 所以 f(x)∈Fx],有 a(T(f(x)=a(xf(x)=元(xf(x)=f(x)+xx-f(x) T(o((d=T-f(a f(a) 所以 (a·7-7·a)(f(x)=a(r(f(x))-r(o(f(x)=f(x) 即a7-7:=1F为F]上的恒等变换 6.证:归纳法 (a)当m=1时,a·r-r·a=1o0=1v,结论成立 (b)当m=2时, 1 T一·T:O a=1v:a=(ar-a)·σ=ara-r·a2 (1)+(2)得:2a (c)设m≤k时,成立om,r-r·om=mom-1 (d)当m=k+1时, kok (3)+(4)得 T·0+0.T·0-T 因此,2kk-(k-1)k=ak+1 →(k+1(d) 不成立, 考察向量 −→k , σi  σj  σi  σj −→k  = σi  σj  σi −→i  = σi  σj −→i  = σi  − −→k  = −→j σ 2 i  σ 2 j −→k  = σ 2 i  − −→k  = −→k 所以 σi · σj · σi · σj 6= σ 2 i · σ 2 j . 5. ∀f(x) ∈ F[x], 有 σ (τ (f(x))) = σ (xf(x)) = d dx (xf(x)) = f(x) + x d dxf(x) τ (σ (f(x))) = τ  d dxf(x)  = x d dxf(x) 所以 (σ · τ − τ · σ) (f(x)) = σ (τ (f(x))) − τ (σ (f(x))) = f(x) 即 σ · τ − τ · σ = 1F[x] 为 F[x] 上的恒等变换. 6. 证: 归纳法 (a) 当 m = 1 时, σ · τ − τ · σ = 1σ 0 = 1V , 结论成立. (b) 当 m = 2 时, σ = σ · 1V = σ · (σ · τ − τσ) = σ 2 · τ − σ · τ · σ (1) σ = 1V · σ = (σ · τ − τσ) · σ = σ · τ · σ − τ · σ 2 (2) (1)+(2) 得: 2σ = σ 2 · τ − τ · σ 2 . (c) 设 m ≤ k 时, 成立 σ m · τ − τ · σ m = mσm−1 . (d) 当 m = k + 1 时, kσk = σ ·  kσk−1  = σ ·  σ k · τ − τ · σ k  = σ k+1 · τ − σ · τ · σ k (3) kσk =  kσk−1  · σ =  σ k · τ − τ · σ k  · σ = σ k · τ · σ − τ · σ k+1 (4) (3)+(4) 得: 2kσk = σ k+1 · τ − σ · τ · σ k + σ k · τ · σ − τ · σ k+1 = σ k+1 · τ + σ ·  σ k−1 · τ − τ · σ k−1  · σ − τ · σ k+1 = σ k+1 · τ − τ · σ k+1 + σ ·  (k − 1)σ k−2  · σ 因此, 2kσk − (k − 1)σ k = σ k+1 · τ − τ · σ k+1 ⇒ (k + 1)σ k = σ k+1 · τ − τ · σ k+1