2.证:对x,y∈Rn和c∈R,有 o(x+y)=(x+y, a)a 内 积的线性性 (x, a)a+(y, a)a=o(x)+o(y) 0(x)=(x,a)a内积的齐次性 c(x, a)a=co(x) 因此,σ是线性变换 3.证:对vf(x),f2(x)∈Ca,列和Ⅴc∈R,有 d(1(m)+2(x)=/1(t)+f2()dt=/(t)d+f2(t)t=a(1(x)+a(2(x) a(cfi(=))=/cfi(t)dt=c/fi(t)dt= co(i(a) 4.o,1,0k表示分别绕相互正交的单位向量了,了,R(逆时针)旋转90°(如图所示) 图1:习题 (1).σ (了)=了,(对)=k ()=了,(k)=k 3)=-,0k(=k (a)变换(,0k)连续作用四次,旋转360度,所以是恒等变换 (b)取向量 (7)=0(-)=7,n(n()=n(7) 显然00;≠oj 对v 2+x 2(G(2)=x((7)+x(G()+((k) +x02(了)+xk02(-k 7-x了+xkk ))+9(G(了)+29((k) io joj 7-x了+xkk 所以a22. 证: 对 ∀x, y ∈ R n 和 c ∈ R, 有 σ (x + y) = (x + y, a) a 内积的线性性 ============ (x, a) a + (y, a) a = σ (x) + σ (y) σ (cx) = (cx, a) a 内积的齐次性 ============ c (x, a) a = cσ (x) 因此, σ 是线性变换. 3. 证: 对 ∀f1(x), f2(x) ∈ C [a, b] 和 ∀c ∈ R, 有 σ (f1(x) + f2(x)) = Z x a [f1(t) + f2(t)] dt = Z x a f1(t)dt + Z x a f2(t)dt = σ (f1(x)) + σ (f2(x)) σ (cf1(x)) = Z x a cf1(t)dt = c Z x a f1(t)dt = cσ (f1(x)) 4. σi , σj , σk 表示分别绕相互正交的单位向量 −→i , −→j , −→k (逆时针)旋转 90◦ (如图所示) −→k −→i −→ σi j σj σk 图 1: 习题4 (i). σi −→i  = −→i , σi −→j  = −→k , σi −→k  = − −→j ⇒ σ 4 i −→i  = −→i , σ4 i −→j  = −→j , σ4 i −→k  = −→k (ii). σj −→i  = − −→k , σj −→j  = −→j , σj −→k  = −→i ⇒ σ 4 j −→i  = −→i , σ4 j −→j  = −→j , σ4 j −→k  = −→k (iii). σk −→i  = −→j , σk −→j  = − −→i , σk −→k  = −→k ⇒ σ 4 k −→i  = −→i , σ4 k −→j  = −→j , σ4 k −→k  = −→k (a) 变换 σi(σj , σk) 连续作用四次, 旋转 360 度, 所以是恒等变换. (b) 取向量 −→i , σi  σj −→i  = σi  − −→k  = −→j , σj  σi −→i  = σj −→i  = − −→k 显然 σiσj 6= σjσi . (c) 对 ∀ −→x = xi −→i + xj −→j + xk −→k , σ 2 i  σ 2 j ( −→x )  = xiσ 2 i  σ 2 j −→i  + xjσ 2 i  σ 2 j −→j  + xkσ 2 i  σ 2 j −→k  = xiσ 2 i  − −→i  + xjσ 2 i −→j  + xkσ 2 i  − −→k  = −xi −→i − xj −→j + xk −→k σ 2 j ￾ σ 2 i ( −→x )
= xiσ 2 j  σ 2 i −→i  + xjσ 2 j  σ 2 i −→j  + xkσ 2 j  σ 2 i −→k  = xiσ 2 j −→i  + xjσ 2 j  − −→j  + xkσ 2 j  − −→k  = −xi −→i − xj −→j + xk −→k 所以 σ 2 i · σ 2 j = σ 2 j · σ 2 i