第三章导数与微分 (cscx)=(-) 2==cot x cScx sIn x 性质四:反函数的导数:设函数y=f(x)在区间(a,b)上单调、连续, 在x0∈(a,b)可导且f(x0)≠0.则反函数x=f(y)在点y=f(x0) 可导,且(f)(yo) dx 1 f(o) dy 证明:由函数y=f(x)的单调及连续可以推出,反函数x=f(y) 单调且连续.因此△x→0和y→0同时成立,并且y=y时也有 x=x0于是,利用复合函数极限定理,当x(y)时 f-f =lim f(x)-f(x0) x∫(x)-f(x0)f(x0) 指数函数的导数 e2) 反三角函数的导数 arcsin x),和( arccos x) (arcsin x) (sin y) cos y (arctan x)= (tan y) sec y 1+ tany 1+x arccot)= 第三章导数与微分第三章 导数与微分 第三章 导数与微分 x x x x x x cot csc sin cos ) sin 1 (csc ) ( 2 = − −  =  = . 性质四: 反函数的导数: 设函数 y = f (x) 在区间 (a,b) 上单调、连续, 在 x0(a,b) 可导且 f (x0 )  0 . 则反函数 x =f y −1 ( ) 在点 y f x 0 = 0 ( ) 可导, 且 ( ) 1 ( ) ( ) 0 0 1 f x f y   = − , 或 dx dy dy dx = 1 . 证明: 由函数 y = f (x) 的单调及连续可以推出, 反函数 x =f y −1 ( ) 单调且连续. 因此 x →0 和 y → 0 同时成立.,并且 y =y0 时也有 x =x0 . 于是, 利用复合函数极限定理, 当 x =f y −1 ( ) 时 ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 0 0 1 1 0 0 f x f x x x y y f y f y y y x x − − = − − → − − → = . ( ) 1 ( ) ( ) 1 lim 0 0 0 0 f x x x x x f x f x  = − → − ⚫ 指数函数的导数 ( ) ( ) x x y e y e = =  =  ln 1 ⚫ 反三角函数的导数 (arcsin x) 和 (arccos x) . . 1 1 1 sin 1 cos 1 (sin ) 1 (arcsin ) 2 2 y x y y x − = − = =   = . 1 1 (arccos ) 2 x x − −  = . 1 1 1 tan 1 sec 1 (tan ) 1 (arctan ) 2 2 2 y y y x x + = + = =   = . 1 1 (arccot ) 2 x x + −  =