因为1m(x)=A,所以对于任意>0,存在p>0(p<d),当 X→a g'( 0<x-a<p时, A<8 g(x) 取x=a+p,由 Cauchy中值定理,对于任意x∈(a,x),存在 5∈(x,x)c(a,a+p)满足 f(x)-f(x0)f(5) g(x)-g(x0)g(5 于是得到 f(r)f\%o/-Al f"(5) <E 8(x)-g(x0) 又因为lmg(x)=∞,所以可以找到正数。<p,当0<x-a<8时,成立 g(x <a g(x) g(x因为 lim ( ) x a ( ) f x → + g x   = A，所以对于任意  0，存在   0 (   d )，当 0 − x a  时， −     A g x f x ( ) ( ) 。 取 0 x a = +  ，由Cauchy中值定理，对于任意 ( , ) 0 x  a x ，存在 ( , ) ( , )   x x0  a a +  满足 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f g x g x g   −  = −  ， 于是得到    −    − = − − A g f A g x g x f x f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 。 又因为 lim ( ) x a g x → + = ，所以可以找到正数   ，当0 − x a  时，成立   − −  ( ) ( ) ( ) 2, ( ) ( ) 1 0 0 0 g x f x Ag x g x g x