11二维概率密度函数连续,边际密度函数不一定连续 例令 f(x,y)=(2√2)-1exp(--32y2),(x,y)∈R (1) 容易验证∫是一个概率密度函数对于第一个边际密度函数 0, 0, f1()=fexp(-|x),x≠0 易知,虽然∫连续,但f1在x=0处不连续 注意到函数∫只有一点不连续.现在我们根据f构造一个新的连续的密度函数,使 它的边际密度函数有无穷多个不连续点 令{rk,k≥1}为一组已排序的有理数,令 g(x,y)=∑2f(x-rn,y) 易知(1)中f在R2中有界,(3)式中右端的级数在R2中一致收敛另外,g是 个处处连续的概率密度函数,它的边际密度函数为 91(a 2-f1(x-rn) 同理易知(4)式右端的级数一致收敛,但是在有理数点n1,r2,…上卯1都不连续.虽 然它在其他无理数点都是连续的 12数学期望不存在的离散型随机变量 在离散型随机变量的数学期望定义中(见《概率论基础》,p.172),要求级 数∑1kPk绝对收敛易知,若绝对收敛,则级数∑≥1xkPk收敛,反之不然 例设随机变量X取值为 k 相应的概率为 24,k=1,2,11 ‘VÇݼêëY§>SݼêؽëY ~ - f(x, y) = (2√ 2π) −1 |x| exp(−|x| − 1 2 x 2 y 2 ), (x, y) ∈ R 2 . (1) N´yf´‡VÇݼê. éu1‡>Sݼê f1(x) = ( 0, x = 0, 1 2 exp(−|x|), x 6= 0. (2) ´§,fëY§f13x = 0?ØëY. 5¿¼êfk:ØëY. y3·‚ŠâfE‡#ëYݼꧦ §>Sݼêkáõ‡ØëY:. -{rk, k ≥ 1}|®üSknê§- g(x, y) = X∞ n=1 2 −n f(x − rn, y). (3) ´£1¤¥f3R 2¥k.§£3¤ª¥mà?ê3R 2¥Âñ. , §g´ ‡??ëYVÇݼꧧ>SÝ¼ê g1(x) = X∞ n=1 2 −n f1(x − rn). (4) Ón´£4¤ªmà?êÂñ§´3knê:r1§r2§... þg1 ÑØëY.  ,§3Ù¦Ãnê:Ñ´ëY. 12 êÆÏ"Ø3lÑ.‘ÅCþ 3lÑ.‘ÅCþêÆÏ"½Â¥£„5VÇØÄ:6§p.172¤§‡¦? ê P∞ i=1 xkpkýéÂñ. ´§eýéÂñ§K?ê P∞ i=1 xkpkÂñ§‡ƒØ,. ~ ‘ÅCþXŠ xk = (−1)k 2 k k , k = 1, 2, ... ƒAVǏ pk = 1 2 k , k = 1, 2, ... 6