例令p={Px,i,j=1,2,…}是一个二维离散分布选择两个点(x1,y)和(x2,y2) 满足每个点上都有正的概率且x1≠x2,≠v.取使得0<ε≤p1,0<E≤p.考 虑q={qy,i,=1,2,…},定义如下 q11=p11-E,q12=p12+E,q1=p21+E,q2=p22-E, 对于其余的,j≠1,2,令=p易得q也是一个二维分布,且和p有着同样的边际分 布,虽然P≠q 9相同边际分布但是联合分布不同-2 例假定F和F2的密度函数分别为f1和f2考虑函数 f(x1,x2)=f1(x1)f2(x2)[1+(2F1(x1)-1)(2F2(x2)-1),(x1,x2)∈R 其中ε为任意实数,且满足||≤1.可以看出∫是一个密度函数,且它的边际密度函数分 别为∫和戶2,与ε无关,故确定了边际分布也无法确定联合分布 10相同边际分布,但是联合分布不同-3 虽然,边际分布函数由联合分布函数唯一决定,但反之却不成立.也就是说,不相 同的分布函数却可以有相同的边际分布函数.下面举出一例 设有两个二元分布函数为F(x,y)及G(x,y),分别有密度函数为 x+y若0≤x≤1,0≤x≤1 y 0其他 (0.5+x)(0.5+y)若0≤x≤1,0≤x≤1, 其他 易知F,G不恒等.然而,两对边际分布函数却相等,因为他们的两对密度函数相等.事 实上 g(x,y)dy=0.5+ f(a,y)dx=/g(a, y)dx=0.5+y~ -p = {pij , i, j = 1, 2, ...}´‡‘lÑ©Ù. ÀJü‡:(x1, y1)Ú(x2, y2)§ ÷vz‡:þÑkVDžx1 6= x2§y1 6= y2. ε¦0 < ε ≤ p11§0 < ε ≤ p22.  Äq = {qij , i, j = 1, 2, ...}§½ÂXeµ q11 = p11 − ε, q12 = p12 + ε, q21 = p21 + ε, q22 = p22 − ε, éuÙ{i, j 6= 1, 2§-qij = pij . ´q´‡‘©Ù§…ÚpkXÓ>S© Ù§,p 6= q. 9 ƒÓ>S©Ù´éÜ©ÙØÓ-2 ~ b½F1ÚF2ݼê©Of1Úf2. ļê f(x1, x2) = f1(x1)f2(x2)[1 + ε(2F1(x1) − 1)(2F2(x2) − 1)], (x1, x2) ∈ R 2 , Ù¥ε?¿¢ê§…÷v|ε| ≤ 1. Œ±wÑf´‡Ý¼ê§…§>SÝ¼ê© Of1Úf2§†εÃ'§(½ >S©ÙÃ{(½éÜ©Ù. 10 ƒÓ>S©Ù§´éÜ©ÙØÓ-3 ,§>S©Ù¼êdéÜ©Ù¼êû½§‡ƒ%ؤá. Ò´`§Øƒ Ó©Ù¼ê%Œ±kƒÓ>S©Ù¼ê. e¡ÞÑ~. kü‡©Ù¼êF(x, y)9G(x, y)§©Okݼꏵ f(x, y) = ( x + y e0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 Ù¦, g(x, y) = ( (0.5 + x)(0.5 + y) e0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 Ù¦. ´F, GØð. , §üé>S©Ù¼ê%ƒ§Ï¦‚üéݼêƒ. ¯ ¢þ Z ∞ −∞ f(x, y)dy = Z ∞ −∞ g(x, y)dy = 0.5 + x, Z ∞ −∞ f(x, y)dx = Z ∞ −∞ g(x, y)dx = 0.5 + y. 5