2-54 101/9-2/9 3→01-8/37/3 35-1311 方程组的基础解系为k1(-1/9,8/3,1,0)2+k2(2/9,-7/3,0,1)2, 解空间为L(-1/9,8/3,1,0)2,(2/9,-7/3,0,1)) 15.设W1,W2均是线性空间V的子空间,且W1∈W2,证明:如果W1的维数 与W2的维数相等,那么,W1=W2。 W2, W1的每一组基都可以扩充成为W2的一组基 W1,W2的维数相等, W1的一组基同时也是W2的一组基。 W1,W2是由同一组基张成的线性空间 17.在欧氏空间中,对任意向量a,B证明 (1)|a+B2+|a-B‖ |2+|6|2) (2)(a,B)=|la+B2-a-B2; (3)若a,B正交,则|a+2=|a2+|B‖ a+2+|a-2=(a+B,a+B)+(a-B,a-B) (a,a)+(a,B)+(B,a)+(B,B)+(a,a)-(a,B)-(B,a)+(B,B) 2((a,a)+(B,B) 2(|la|2+‖2) a+|2-|a-B2=7(a+B,a+B)-(a-B,a-B) (a,a)+(a,B)+(B,a)+(B,B)-(a,a)+(a,B)+(,a)-(B,3) a,B正交 (a,B)=04   3 2 −5 4 3 −1 3 −3 3 5 −13 11   →   1 0 1/9 −2/9 0 1 −8/3 7/3 0 0 0 0  , êß|ƒ:)Xè k1(−1/9, 8/3, 1, 0)T + k2(2/9, −7/3, 0, 1)T , )òmè L((−1/9, 8/3, 1, 0)T ,(2/9, −7/3, 0, 1)T )" 15. W1, W2˛¥Ç5òmV fòmßÖW1 ⊆ W2ßy²µXJW1ëÍ ÜW2ëÍÉß@oßW1 = W2" yµ ∵ W1 ⊆ W2, ∴ W1zò|ƒ—å±*ø§èW2ò|ƒ" ∵ W1, W2ëÍÉß ∴ W1ò|ƒ”ûè¥W2ò|ƒ" ∴ W1, W2¥d”ò|ƒ‹§Ç5òm" ∴ W1 = W2 17. 3Óºòm•ßÈ?øï˛α, βy²µ (1) kα + βk 2 + kα − βk 2 = 2(kαk 2 + kβk 2 )¶ (2) (α, β) = 1 4 kα + βk 2 − 1 4 kα − βk 2 ¶ (3) eα, βßKkα + βk 2 = kαk 2 + kβk 2" yµ (1) kα + βk 2 + kα − βk 2 = (α + β, α + β) + (α − β, α − β) = (α, α) + (α, β) + (β, α) + (β, β) + (α, α) − (α, β) − (β, α) + (β, β) = 2((α, α) + (β, β)) = 2(kαk 2 + kβk 2 ) (2) 1 4 kα + βk 2 − 1 4 kα − βk 2 = 1 4 ((α + β, α + β) − (α − β, α − β)) = 1 4 ((α, α) + (α, β) + (β, α) + (β, β) − (α, α) + (α, β) + (β, α) − (β, β)) = 1 2 ((α, β) + (β, α)) = (α, β) (3) ∵ α, βß ∴ (α, β) = 0"