3 a1,a2,…,an到2a2,303,…,(n-1)an-1,man,a1的过渡矩阵为 00 20 00 12求下列子空间的维数和一个基: (1)L(a1,a2,a3)F,其 3 0 0 (2)L(a1,a2,a3,a4),其中 3 3 3)由齐次线性方程组 3x1+2r2-5x3+4x4=0 . 4 3r1+5 13xr3+11 所确定的解空间。 解: (1)对矩阵(a1,a2,a3)做初等列变换 10 201 →0 001 11 矩阵是满秩的,所以子空间La1,a2,a3)的维数为3,a1,a2,a3就是它的一组基。(2)对 矩阵(a1,a2,a3,a4)做初等列变换 1000 1-155 1300 333-3 3-300 矩阵的秩为2,且a3,a4对应的列化为全0,所以子空间L(a1,a2,a3,a4)的维数为2, a1,a2是它的一组基。(3)对方程组的系数矩阵做初等行变换3 ∴ α1, α2, · · · , αn2α2, 3α3, · · · ,(n − 1)αn−1, nαn, α1Lfi› è   0 0 · · · 0 0 1 2 0 · · · 0 0 0 0 3 · · · 0 0 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 0 · · · n − 1 0 0 0 0 · · · 0 n 0   12.¶efòmëÍ⁄òჵ (1) L(α1, α2, α3) ⊆ R3 ߟ α1 =   2 3 1   , α2 =   1 0 −1   , α3 =   2 0 1   ; (2) L(α1, α2, α3, α4) ⊆ R4 ߟ• α1 =   2 1 3 −1   , α2 =   1 −1 3 −1   , α3 =   4 5 3 −1   , α4 =   1 5 −3 1   (3)  d‡gÇ5êß|   3x1 + 2x2 − 5x 3 + 4x 4 = 0 3x1 − x2 + 3x3 − 3x4 = 0 3x1 + 5x2 − 13x3 + 11x4 = 0 §(½)òm" )µ (1)  È› (α1, α2, α3)â–Cܵ  2 1 2 3 0 0 1 −1 1   →   1 0 0 0 1 0 −1 1 1  , › ¥˜ùߧ±fòmL(α1, α2, α3)ëÍè3ßα1, α2, α3“¥ßò|ƒ" (2) È ›  (α1, α2, α3, α4)â–Cܵ  2 1 4 1 1 −1 5 5 3 3 3 −3 −1 −1 −1 1   →   1 0 0 0 −1 3 0 0 3 −3 0 0 −1 1 0 0   , › ùè2ßÖα3, α4ÈAzè0ߧ±fòmL(α1, α2, α3, α4)ëÍè2ß α1, α2¥ßò|ƒ" (3) Èêß|XÍ› â–1Cܵ