设A,B∈F",则AB的充分必要条件是A,B是一个n维线性空间的线性变换在不同基下的矩 3.R的正交相似 设A,B∈R",称A与B正交相似,如果存在正交矩阵T,使得A=TAT=T-1AT.正交相似 是等价关系. R"X"上两个矩阵正交相似的充分必要条件是它们是n维欧氏空间V的一个线性变换在两个不同的标准 正交基下的矩阵 在R”xm中全体正交矩阵构成的集合中,正交相似是等价关系 diag( Er, -Es, cosar -sinar -sInat COsal 是正交相似等价类的一个代表元,这里cos- asina,1≤s≤l,是A的复特征根 Rn上两个正交矩阵正交相似的充分必要条件是它们是n维欧氏空间V的一个正交变换在两个不同的 标准正交基下的矩阵 在Rn中全体对称矩阵构成的集合中,正交相似是等价关系特征根相同是等价关系的全系不变量.对 角阵是正交相似等价类的一个代表元 R“Xn上两个对称矩阵正交相似的充分必要条件是它们是n维欧氏空间V的一个对称变换在两个不同的 标准正交基下的矩阵 4.对称阵的合同关系 对称矩阵A,B∈F”称为合同的,如果存在可逆阵P∈FX",使得B=PAP,对称矩阵的合同 关系是等价关系.对角阵是等价类的一个代表元 两个对称矩阵合同的充分必要条件是它们是同一个二次型在非退化线性替换前后的矩阵 在C"上全体对称矩阵构成的集合中,合同关系是等价关系.矩阵的秩是等价关系的全系不变量 00)是等价类的一个代表元 R"X的全体对称阵构成的集合中,合同关系是等价关系.A合同于B的充分必要条件是rank(4) rank(B)且符号差相等.所以,秩和符号差是等价关系的全系不变量,{0-E,-0是等价类 的一个代表元.R×"的全体正定矩阵构成了一个等价类,等价类的一个代表元是单位阵E 例1.数域F上全体有限维线性空间构成的集合中,线性空间的同构是一个等价关系.共分成N类. 为VW的充分必要条件是dim(V)=dim(W),所以维数是线性空间同构的完全不变量.在所有 线性空间中,F"的元素形式最简单,取它做等价关系下的一个代表元 例2.实数域R上全体有限维欧氏空间构成的集合中,欧氏空间的同构是一个等价关系.共分成N类 维数是这个等价关系的完全不变量.R是等价关系下的一个代表元 例3.由线性空间V的向量组组成的集合中,向量组的等价是等价关系.线性无关极大组是等价关系下 的一个代表元