高等代数方法选讲厦门大学数学科学学院 网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdjpkc. xml. edu.cn 第十三章等价关系与矩阵标准形 提示:集合的一个分类决定一个等价关系;集合的一个等价关系决定的一个分类.按照等价分类,决定等 价分类的完全不变量,确定分类个数,选取每类的代表元,这是代数学的一种重要思想方法 本章总结了高等代数中的各种等价关系,并重点回顾和讨论了矩阵的几种重要的等价关系:相抵关系,相 似关系,正交相似关系,合同关系.要掌握等价分类取代表元的思想方法,并用解决各种相关问题.同时要 注意在同构意义下矩阵的命题与线性映射(线性变换)命题的对应 等价关系与分类 设S是一个集合,如果我们将S划分成为若干个非空子集,使得S中的每个元素属于且只属于一个子 集,我们称对S进行了分类,同时将这些子集称为S的类.即:设{Sa|a∈Ⅰ}是S的非空子集族,满 足(1)S=Ua∈r5Sa:;(2)Sa∩Sa=0 集合的一个二元关系~称为S的一个等价关系,如果~满足:(1)反身性,即对任意a∈S,有 ~G;(2)对称性,即a~b,则b~a;(3)传递性,即a~b,b~c则a~c 定理1.集合S的一个分类决定S的一个等价关系;集合S的一个等价关系决定S的一个分类 设~是集合S的一个等价关系,a∈S,令互={b∈Sa~b,则称为a所在的等价类,称a是 等价类a的一个代表元.若b∈z,即a~b,则b=b.所以,等价类与代表元的选取无关.等价类一个共 的一个不变量P称为完全不变量,如果a,b具有性质P,则a~b 二.矩阵中几种等价关系 1.矩阵的相抵关系 设A,B∈Fm,如果存在可逆阵PQ使得B=PAQ,则称A相抵于B,记为AB.矩阵的相 抵关系是等价关系.AsB的充分必要条件是rank(A)=rank(B).所以矩阵的秩是相抵关系的全系不 变量,F被相抵关系的等价分类共有m(m+1)每类的代表元是(0 设A,B∈Fm×",则A相抵于B的充分必要条件是A,B是一个n维线性空间到m维线性空间的线 性映射在不同基下的矩阵. 2.方阵的相似关系 设A,B∈Fm",如果存在可逆矩阵P∈F,使得PAP-1=B.称A相似于B,记为A~B FXM中的相似关系是等价关 设A,B∈C.则A≈B的充分必要条件是A,B有相同的行列式因子,充分必要条件是A,B有相 同的不变因子,充分必要条件是A,B有相同的初等因子组.所以,行列式因子,不变因子,初等因子组, Jordan标准形是Cx上方阵相似的完全不变量. Jordan标准形是一个等价分类的代表元因为A≈B, 则(λE-A)(λE一B),所以行列式,特征多项式,最小多项式,秩,迹都是方阵相似的不变量,但不是 完全不变量