教案:向量值映照的有限增量公式 教案:向量值映照的有限増量公式 1.知识点(教学内容及其目标概述) 本知识点:多维函数与向量值映照的有限增量估计 2.知识要素(教学内容细致目录) ①基于单参数曲线化的多维函数的有限增量估计 定理:设y∈R为∫(x)∈R之定义域D2中连接A和B二点的光滑曲线,f(x)在y上可微,则有估计 (B)-/(4)≤ suplY(x),例代表曲线的弧长。 分析:考虑连接曲线 y()[a]y()=x()∈R",y(a)=A,y(b)=B 对[ab]引入分割Pa=6<…<t1<1<…<ty=b。 引入:q()[=14]3→()°()∈R,对其应用 Lagrange中值定理,有 fy()-fy(x)=[D((x)(x),A∈(t-,) 可有估计 r()-fy(x-)=1p(():(m)△MsD(r(x)(x)AM uplDf(x). (u,)I 由此可有:1(B)-(4)=[/=()-1(-)≤spD(x).∑()M 取极限P→0,则有:(B)-f(4)≤supo(x)jp(O)l-dt。 ②基于单参数曲线化的向量值映照的有限增量估计 定理:设ycR"为∫(x)∈R之定义域D,中连接A和B二点的光滑曲线,f(x)在y上可微,则有估 计J(B)-f(4)sspD(x)-,代表曲线的弧长。 分析:考虑上述一致的连接曲线及分割。考虑如下的函数 q()[=4]319(0)∑ry()[rmy()-=oy() 第1页共2页教案：向量值映照的有限增量公式 第 1 页 共 2 页 教案：向量值映照的有限增量公式 1. 知识点（教学内容及其目标概述） 本知识点：多维函数与向量值映照的有限增量估计。 2. 知识要素（教学内容细致目录） ① 基于单参数曲线化的多维函数的有限增量估计 定理：设 m   为 f x  之定义域 D x 中连接 A 和 B 二点的光滑曲线， f x  在  上可微，则有估计     sup   m f B f A Df x     ，  代表曲线的弧长。 分析：考虑连接曲线：  : ,       m   t a b t t x t    ， a A   ， b B   对 a b,  引入分割 0 1 : P a t t t t b        i i N  。 引入：    t t t t t f t : ,  i i 1        ，对其应用 Lagrange 中值定理，有： f t f t Df t        i i i i i       1           ， i i i t t 1 ,  可有估计：                   1 sup m m m m i i i i i i i i i i f t f t Df t Df t Df x t                         ，i N 1, , 由此可有：        1      1 1 sup m m N N i i i i i i f B f A f t f t Df x t                     取极限 P  0 ，则有：     sup   m m   b a f B f A Df x t dt       。 ② 基于单参数曲线化的向量值映照的有限增量估计 定理：设 m   为   m f x  之定义域 D x 中连接 A 和 B 二点的光滑曲线， f x  在  上可微，则有估 计 f B f A Df x     n n m sup        ，  代表曲线的弧长。 分析：考虑上述一致的连接曲线及分割。考虑如下的函数    1 1          1 : , n i i i i t t t t t f t f t f t                   